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\define\R{\bold R}
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\define\T{\bold T}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{解析学特別演習II・小テスト (5)}
\rightline{2007年12月4日 13:00--14:30}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．自筆ノートのみ持込可で行います．

以下のすべての問題で，
考えている測度はLebesgue 測度である．

\bigskip [1] $\delta$-関数は，$L^1_{\text{loc}}$ の元としては表せないことを
示せ．すなわち，$L^1_{\text{loc}}(\R)$ の元 $f$ で，
すべての試験関数 $\varphi\in{\Cal D}(\R)$ に対して
$\int_{\R} f(x)\varphi(x)\;d=\varphi(0)$ となるものは
存在しないことを示せ．

\medskip [2] $\R$ 上の超関数 $T$ を何回か微分したら$0$になった．
このような $T$ をすべて求めよ．

\medskip [3] $\R$ 上の関数 $|\sin x|$ を超関数と思ったものを $T$
と書くとき，$T''$ を求めよ．

\medskip [4] $f\in L^1(\R)$ とする．$\e > 0$ に対し，
$\dfrac{1}{\e}f\left(\dfrac{x}{\e}\right)$ を
超関数と思って，$\e\to0+$ としたときの極限を求めよ．

\bye