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\centerline{解析学特別演習II・小テスト (1)}
\rightline{2006年10月2日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

解答は別紙に書いてください．学生証番号，氏名を一番上に
書いてください．

\bigskip
[1] Fatou の補題のステートメントを書け．

\medskip
[2] 次のすべての条件を満たす，$\R$ 上の可測関数の列 $\{f_n(x)\}_n$
の例を一つ挙げよ．考えている測度は Lebesgue 測度である．
挙げた例が条件を満たしている理由をきちんと示すこと．

(1) 各 $f_n(x)$ はほとんどいたるところ0以上の値をとる．

(2) ほとんどすべての $x\in\R$ に対し，
$\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$.

(3) 各 $n$ に対し，$f_n(x)$ は $\R$ 上可積分である．

(4) さらに $\lim_{n\to\infty} \int_{-\infty}^\infty f_n(x)\;dx$
も存在するが，0 には等しくない．

\medskip
[3] 次のすべての条件を満たす，$\R$ 上の可測関数の列 $\{f_n(x)\}_n$
の例を一つ挙げよ．考えている測度は Lebesgue 測度である．
挙げた例が条件を満たしている理由をきちんと示すこと．

(1) 各 $f_n(x)$ は $\R$ 上連続かつ可積分な実数値関数である．

(2) $\R$ 上の可測可積分関数 $f(x)$ があって，
$\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty |f(x)-f_n(x)|\;dx=0$.

(3) $f(x)$ は $\R$ 上連続ではない．

\medskip
[4] 次のすべての条件を満たす，$\R$ 上の可測関数の列 $\{f_n(x)\}_n$
の例を一つ挙げよ．考えている測度は Lebesgue 測度である．
挙げた例が条件を満たしている理由をきちんと示すこと．

(1) 各 $f_n(x)$ は $\R$ 上可積分な実数値関数である．

(2) $\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty |f_n(x)|\;dx=0$.

(3) どの $x\in \R$ についても，
$\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$ とはならない．

\medskip
[5] 次のそれぞれの命題は正しいか．正しければ証明し，誤っていれば
反例を挙げよ．きちんと理由も示すこと．

(1) $(0,1)$ 区間の開かつ稠密な集合は Lebesgue 測度 $1$ を持つ．

(2) $(0,1)$ 区間上の Lebesgue 可測可積分関数 $f(x)$ が，
すべての $x\in(0,1)$ に対して $f(x)\ge0$ を満たし，
また，$\int_0^1 f(x)\;dx=0$ を満たせば，ほとんどいたるところ
$f(x)=0$ である．

(3) $(0,1)$ 区間の Lebesgue 可測集合が連続濃度を持てば，
その Lebesgue 測度は正である．

(4) $\R$ 上の実数値可測関数 $f(x)$ について，
$\int_{-N}^N f(x)\;dx$ が $N\to\infty$ で極限を持てば，
$f(x)$ は $\R$ 上可積分である．

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[6] その他，この授業・演習に注文，希望，文句などがあればどうぞ．

\bye