\magnification=\magstep1
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\nopagenumbers
\def\phi{\varphi}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{数理科学 I 中間テスト(1, 2)解答・解説}
\medskip
\rightline{2004年7月20日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

中間テスト (1), (2) の解答と簡単な解説をつけます．

\bigskip
中間テスト(1)．配点は，[1] 20点$\times3$,
[2] 25点$\times2$, [3] (1) 15点 (2) 10点 (3) 20点の155点満点です．

このテストの最高点は 112点(1人)，平均点は63点，その得点の
分布は次のとおりです．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&& \omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59 && 60--69
&& 70--79  && 80--89 && 90--99 && 100-- & \cr
\vsp\t
&  8 (人) && 5 &&  8 && 2  && 3 &&  1 && 3 & \cr
\vsp\t
}}$$

\noindent
[1] いずれの場合も最大値，最小値はあることがわかり，Lagrange
乗数法を使います．$\varphi_x = \varphi_y =0$ になることはないのが
チェックできます．(なお，別に Lagrange 乗数法を使えとは指定して
いないので，他の方法でも正しく答えが出ていれば満点です．)

(1) 最大値は，$\sqrt{5/6}$, 最小値は $-\sqrt{5/6}$.

(2) 最大値は，$2+\sqrt2$, 最小値は $1$．

(3) 最大値は $2$，最小値は，$1/2$．

\noindent
[2] (1) 極座標に直して計算します．答えは $512/75$．

(2) 球座標に直して計算します．答えは $4\pi/15$．

\noindent
[3] (1) $x=2^{1/3}$ で $y=2^{2/3}$が極大値です．
漸近線は $x+y=-1$で，直線 $y=x$ について対称なグラフです．

(2) $x=0$ と $x=2^{2/3}$ 以外で，逆関数定理が使えてO.K.です．

(3) 第一象限の部分を極座標で書きます．$\theta$ での積分は，
$t=\tan^3 \theta$ と置換します．答えは $3/2$.

\bigskip 中間テスト(2)．配点は，[1] 15点$\times 3$, [2] 15点，
[3] 20点$\times 2$ の100点満点です．

このテストの最高点は 89点(2人)，平均点は60点，その得点の
分布は次のとおりです．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&& \omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59 && 60--69
&& 70--79  && 80--89 && 90--99 && 100 & \cr
\vsp\t
&  12 (人) && 2 &&  6 && 6 && 7 &&  0 && 0 & \cr
\vsp\t
}}$$

\noindent
[1] (1) 最大値は $9/4$, 最小値はなし．$x=y=0$ で，$\varphi_x=\varphi_y=0$
となることに注意しないと減点．

(2) 最大値は $1/4$, 最小値は $-1/4$.

(3) 最大値は $5/6$, 最小値は $-35/6$.

\noindent
[2] 定義どおり計算して$\pi a \sqrt{a^2+b^2}$. 答えだけなら小中学生
でも知っていますが，それが授業で「定義」した曲面積と一致することを
何らかの方法で示す必要があります．したがって答えだけあっていても
0点です．

\noindent
[3] (1) 普通に計算して答えは $3/4$.

(2) 同じく普通に計算して答えは $(\log 2 +15/16)\pi$

\bye