\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}

%\vcorrection{2truecm}        % for Tokyo University printer
%\hcorrection{-2truecm}
%\pagewidth{13truecm}     %18-2.5*2
%\pageheight{20truecm}    %26-2*2

\parskip 5pt
\nopagenumbers

\centerline{作用素環論の一般的教科書}
\medskip

\noindent [BR] O. Bratteli \& D. W. Robinson,
Operator algebras and quantum statistical mechanics I, II,
Springer, 1979.

\noindent [D1] J. Dixmier,
Les $C^*$-alg\'ebres et leurs repr\'esentations,
Gauthier-Villars, 1969.

\noindent [D2] J. Dixmier,
Les alg\'ebres d'op\'erateurs dans l'espace Hilbertien,
Gauthier-Villars, 1969.

\noindent [KR]
R. Kadison \& J. Ringrose,
Fundamentals of the theory of operator algebras I, II,
Academic Press, 1986.

\noindent [P]  G. K. Pedersen,
C$^*$-algebras and their automorphism
groups,
London Mathematical Society Monographs,
Vol\. 14,
Academic Press, London, 1979.

\noindent [S]  S. Sakai,
C$^*$-algebras and W$^*$-algebras, Springer Verlag,
1971.

\noindent [St]   \c S. Str\u atil\u a,
Modular Theory in Operator Algebras,
Editura Academiei and Abacus Press, Tunbridge Wells, 1981.

\noindent [SZ]   \c S. Str\u atil\u a \& L. Zsid\'o,
Lectures on von Neumann algebras,
Editura Academiei and Abacus Press, Tunbridge Wells, 1979.

\noindent [T1]  M. Takesaki,
Theory of operator
algebras I, Springer, Berlin, 1979.

\noindent [T2]  M. Takesaki,
作用素環の構造, 岩波書店，1983.

\noindent [T3]  M. Takesaki,
Theory of operator
algebras II, Springer, in preparation.

\noindent [UOH] H. Umegaki, M. Ohya, \& F. Hiai,
作用素代数入門, 共立出版，1985.

\bigskip
\centerline{Paragroup理論の参考文献解説}
\medskip

\noindent [BG]
J. de Boer \& J. Goeree, {\it Markov traces and II$_1$ factors in
conformal field theory}, Comm\. Math\. Phys\.
{\bf 139} (1991), 267--304. RCFTのcombinatorial dataからparagroup
が作れることを示したSection 4が興味深い．このsectionだけなら物理を
何も知らなくても読める．

\noindent [DZ] P. Di Francesco \& J.-B. Zuber,
{\it $SU(N)$ lattice integrable models associated with graphs},
Nucl\. Phys\. {\bf B338} (1990), 602--646.
Paragroupと非常に近いことを物理的動機から研究している．彼らが
扱っているグラフの多くは作用素環論的に意味がある．

\noindent [DJN] B. Durhuus, H. P. Jakobsen, \& R. Nest,
{\it Topological quantum field theories from generalized 6j-symbols},
preprint, 1991. A. Ocneanuに刺激されてtopological invariantの抽象的な
構成を行った．Turaev-Viroより（しろうとには）読みやすい．

\noindent
[EK1] D. E. Evans \& Y. Kawahigashi,
{\it Orbifold subfactors from Hecke algebras},
preprint, 1992. 可解格子模型とparagroupの類似性を追究し，
Yang-Baxter方程式やorbifold constructionの作用素環論的意味を
明らかにした．

\noindent
[EK2] D. E. Evans \& Y. Kawahigashi,
{\it From subfactors to $3$-dimensional topological
quantum field theories and back}, preprint, 1992.
A. Ocneanuの主張しているtopological invariantの構成に
完全な証明を付けたもの．

\noindent
[EK3] D. E. Evans \& Y. Kawahigashi,
{\it The $E_7$ commuting squares produce
$D_{10}$ as principal graph}, preprint, 1992.
[I2]の方法が，さらに拡張できることを示した．
CFTのmodular invariantとの類似について説明している．

\noindent
[EK4] D. E. Evans \& Y. Kawahigashi,
{\it Subfactors and conformal field
theory}, preprint, 1992.
作用素環論を中心にしたsurvey．

\noindent [GHJ] F. Goodman, P. de la Harpe, \& V. F. R. Jones,
``Coxeter graphs and towers of algebras'', MSRI publications 14,
Springer, 1989.
基礎からていねいに書いてある本だが，ほぼparagroup理論の登場前に
書かれたので，combinatorialな側面の突っ込みが浅い．

%\noindent [GV] M. Gross \& S. Varsted, 
%{\it Elementary moves and ergodicity in
%$D$-dimensional simplicial quantum gravity},
%Nucl\. Phys\. B {\bf 378} (1992), 367--380.
%Alexandar moveの簡単化について，3,4次元の場合について
%わかりやすく証明している．
%Ocneanuは任意の次元で
%O.K.だと主張しているようだが，それはよくわからない．

\noindent [H]
T. Hayashi,
{\it Quantum group symmetry of partition functions of
IRF models and their application to Jones' index theory},
preprint, 1992. $A$-$D$-$E$の場合のflatnessの問題が
quantum groupのideaで統一的に解けることを示した論文．

\noindent [I1] M. Izumi, {\it Application of fusion rules to
classification of subfactors},
Publ\. RIMS Kyoto Univ\. {\bf 27} (1991), 953--994.
前半で，fusion ruleのinconsistencyが$D_{2n+1}$, $E_7$を
paragroupとしてつぶすことを示している．少し遅れて，
Sunder-Vijayarajanが同様の論文を書いたが，この[I1]のほうが
ずっと明解である．

\noindent [I2] M. Izumi,
{\it On flatness of the Coxeter graph $E_8$},
(to appear in Pac\. J. Math\.).
String algebraの「途中をとばす」ideaを初めて導入し，
$E_8$のflatnessを示した論文．

\noindent
[IK] M. Izumi \& Y. Kawahigashi,
{\it Classification of subfactors with the principal graph $D^{(1)}_n$},
(to appear in J. Funct\. Anal\.).
拡張Dynkin図形$D^{(1)}_n$に対応するparagroup (index 4)の分類を行った．
Onceanuの誤りを示した論文．$*$を動かさないorbifold constructionを適用した．

\noindent [J1]
V. F. R. Jones,
{\it Index for subfactors},
Invent\. Math\. {\bf 72} (1983), 1--15.
すべてのおおもと．

\noindent [J2]
V. F. R. Jones,
{\it A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras}
Bull\. Amer\. Math\. Soc\. {\bf 12} (1985), 103--112.
元祖Jones polynomial．

\noindent [J3]
V. F. R. Jones,
{\it Subfactors and knots}
CBMS {\bf 80} Amer\. Math\. Soc\. (1991).
Jones自身によるsurvey．Knotのことはいろいろ書いてあるが，
paragroupのことはあまり書いていない．（出たのは最近だが，書かれたのは
かなり前である．）

\noindent [K1]
Y. Kawahigashi,
{\it On flatness of Ocneanu's connections on the Dynkin diagrams
and classification of subfactors}, preprint, 1990.
String algebraのアプローチでflatnessの意味を明らかにし，
$D_n$に対するparagroupの存在問題をorbifold constructionで解いた論文．

\noindent [K2] Y. Kawahigashi,
{\it Exactly solvable orbifold models and subfactors}, 
in \lq\lq Functional Analysis and Related Topics'',
Lect\. Notes in Math\. (Springer Verlag)
{\bf 1540} (1992), 127--147.
String algebraのアプローチに基づくsurvey．

\noindent [KR] A. N. Kirillov \& N. Yu\. Reshetikhin,
{\it Representations of the algebra $U_q(sl_2)$,
$q$-orthogonal polynomials and invariants for links},
in ``Infinite dimensional Lie algebras and groups'' (V. G. Kac,
ed\.), Adv\. Ser\. in Math\. Phys\., vol\. 7, 1988, pp\. 285--339.
Qunatum $6j$-symbolを計算した論文．あまり読みやすくない（と思う）．

\noindent [O1]  A. Ocneanu,
{\it Quantized group string algebras and Galois theory for algebras},
in ``Operator algebras and applications, Vol\. 2
(Warwick, 1987),''
London Math\. Soc\. Lect\. Note Series Vol\. 136,
Cambridge University Press,
1988, pp\. 119--172.
元祖paragroup．彼が，1987年の時点でどれほどの独走状態にあったか
を示しており，今読んでも興味深いコメントに満ちている．しかし証明は
全くなく，これだけ読んで理解しようとするのは無理．

\noindent [O2]  A. Ocneanu,
{\it Graph geometry, quantized groups and nonamenable subfactors},
Lake Tahoe Lectures, June--July, 1989.
自分でタイプして配布した講義ノート．
話題がstring algebra/connectionの線型代数的側面に
限定されているが，かなり詳しく書いてある．
これのintroductionも味わい深い．

\noindent [O3]  A. Ocneanu,
``Quantum symmetry, differential geometry of finite graphs and
classification of subfactors'', University of Tokyo Seminary Notes 45,
(Notes recorded by Y. Kawahigashi), 1991.
東大での1990年の講義記録．Connectionについてかなり詳しく書いてある．
特に，compactness argument (II.6)はきわめて重要なことだが，
ちゃんと書いてあるものはこの講義録しかない．IV.4も貴重．
ただし，これも証明はあちこちとんでいる．

\noindent [O4]  A. Ocneanu,
{\it An invariant coupling between $3$-manifolds and subfactors,
with connections to topological and conformal quantum field
theory}, unpublished announcement, 1991.
Bimodule, intertwiner, Frobenius reciprocityなどに
ついては，ていねいにきちんと書いてある．しかし，かんじんの
topological invariantについてはほとんど説明が無い．

\noindent [O5]  A. Ocneanu,
{\it Operator algebras, $3$-manifolds and quantum field theory},
OHP sheets for the Istanbul talk, July, 1991.
多くの驚くべき主張に満ちているが，当然証明はない．

\noindent [O6] A. Ocneanu, （無題）．
1991年Coll\'ege de Franceで行った講義の
（誰かが取った）手書きノート．Tube algebraについてはこれが一番詳しい
（が，やはりよくわからない．）

\noindent [O7] A. Ocneanu,
{\it Quantum cohomology}, preprint, 1992.
定義だけしかない短いノート．

\noindent [O8] A. Ocneanu,
{\it A note on simplicial dimension shifting}, preprint, 1993.
Ooguri, Crane-Yetterらの4次元多様体の複素数値topological invariantは
常に1であることを主張している．しかし，Crane-Yetterは自分たちの
invariantは定数1ではないという反論のノートを書いている．

\noindent [Pa] V. Pasquier,
{\it Operator content of the $ADE$ lattice models},
J. Phys\. A. Math\. Gen\. {\bf 20} 
(1987), 5701--5717.
$A$-$D$-$E$のconnectionと同様のことを可解格子模型の言葉でやっている
（そうだ）．

\noindent [P1] S. Popa,
{\it Correspondences}, unpublished.
Bimoduleの一般論をていねいに扱っている数少ない文献の一つ．

\noindent [P2]  S. Popa,
{\it Classification of subfactors: reduction to commuting squares},
Invent\. Math\. {\bf 101} (1990), 19--43.
前半は解析的だが，最後の章でcanonical commuting squareの代数的
条件を取り扱っている．

\noindent [R] Ph\. Roche,
{\it Ocneanu cell calculus and integrable lattice models},
Comm\. Math\. Phys\. {\bf 127} (1990), 395--424.
Paragroupを可解格子模型の立場から見たものだが，非常に興味深く，
物理を知らなくてもおもしろい．

\noindent [S] J. Schou,
{\it  Commuting squares and index for subfactors}, Ph\. D. Thesis,
Odense University, 1990.
Connectionの具体的な構成について，徹底的に調べている．特に$E_{10}$
グラフに対応するcommuting squareの構成（Ocneanuが主張した）
が書いてあるものはこれだけである．

\noindent [T] V. G. Turaev,
{\it Quantum invariants of $3$-manifolds}, preprint, 1992.
Survey的な解説．

\noindent [TV] V. G. Turaev \& O. Y. Viro,
{\it State sum invariants of $3$-manifolds and quantum $6j$-symbols},
Topology, {\bf 31} (1992), 865--902.
Triangulationにもとづくtopological invariantを構成した論文．
最初のところはしろうとにも読みやすいが，後半はトポロジーが専門でない私には
よくわからない．

\noindent [We] H. Wenzl,
{\it Hecke algebras of type A and subfactors},
Invent\. Math\. {\bf 92} (1988), 345--383.
Hecke algebraに基づくsubfactorの構成．画期的な論文であるが，paragroup
以前のものなので，現在の立場からはまだるこしい．ただし，
（周期が一般の）commuting squareに対する
relative commutantの次元評価式Theorem 1.6は，今でも最強の結果．

\noindent [Wi] E. Witten, {\it Gauge theories and integrable lattice
models}, Nucl\. Phys\. {\bf B322} (1989), 629--697.
物理的なところを全部無視すれば（しても？）読みやすい．

\noindent [X] F. Xu, {\it Orbifold construction in subfactors},
preprint, 1992. [BG], [EK1], [Wi]をあわせれば，orbifold construction
がより明解になることを示し，[EK1]でできなかった場合の計算も
完成させた．

\noindent [Y] S. Yamagami,
{\it A report on Ocneanu's lecture}, preprint, 1991.
Bimodule, intertwiner, Frobenius reciprocityについてきちんと書いたもの．

\bye