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\hbadness=10000

\centerline{II$_1$ factorの基礎的事項}
\rightline{河東泰之　}
\bigskip

Hilbert空間$H$は，以下すべて可分無限次元とする．
$B(H)$で，$H$上の有界線型作用素全体を表す．
作用素環を表すのに，$M,N, R,P,Q,\dots$などの文字を，
作用素を表すのに，$x,y,z,t,s,a,b,\dots$などの文字を，
Hilbert空間のvectorを表すのに，$\xi,\eta,\zeta,\dots$などの文字を用いる．
$H$の内積は，$(\xi,\eta)$と書き，作用素$x$のconjugate $x^*$は
$(x\xi,\eta)=(\xi,x^*\eta)$で定められる．このとき，
$\|x^*x\|=\|x\|^2$が成り立つ．

\medskip
[1] $B(H)$上に，以下の5つの位相を入れる．
以下，$(x_i)$はnetである．

\roster
\item norm topology
\item strong operator topology: $x_i\to x \quad \Longleftrightarrow \quad
\|x_i\xi-x\xi\|\to 0\qquad\forall \xi\in H$.
\item weak operator topology: $x_i\to x \quad \Longleftrightarrow \quad
|(x_i\xi,\eta)-(x\xi,\eta)|\to 0\qquad\forall \xi,\eta\in H$.
\item $\si$-strong operator topology: $x_i\to x \quad \Longleftrightarrow \quad
\sum_{j=1}^\infty\|x_i\xi_j-x\xi_j\|^2\to 0$
\hfill\linebreak
$\forall \xi_j\in H
\hbox{\ with\ }\sum_{j=1}^\infty\|\xi_j\|^2 < \infty$.
\item $\si$-weak operator topology: $x_i\to x \quad \Longleftrightarrow \quad
|\sum_{j=1}^\infty(x_i\xi_j,\eta_j)-(x\xi_j,\eta_j)|\to 0$
\hfill\linebreak
$\forall
\xi_j, \eta_j\in H
\hbox{\ with\ }\sum_{j=1}^\infty\|\xi_j\|^2 < \infty,
\sum_{j=1}^\infty\|\eta_j\|^2 < \infty$.
\endroster

$\si$-strong (weak) operator topologyは，
ultrastrong (ultraweak) operator topologyとも呼ばれる．また，
\lq\lq operator''は，しばしば省略する．（Banach空間としての
強位相，弱位相と混同しないこと．）Norm topologyが一番強い位相である．
$B(H)$の（normに関する）単位球上では，$\si$-strong operator topologyと
strong operator topology,
$\si$-weak operator topologyと
weak operator topologyとは同じである．
（[T1] Chapter II, Section 2,
[UHO] 4.1.）

\medskip
[2] （von Neumannのdouble commutant theorem）
$B(H)$の1を含む$*$-部分環 $M$に対し，以下の3条件は同値である．

\roster
\item $M''=M$.
\item $M$は，$\si$-strongly closed.
\item $M$は，weakly closed.
\endroster

（ただし，記号$M'$は，$\{x\in B(H)\mid xy=yx,\quad\forall y\in M\}$
を表し，$M$のcommutantと言われる．）
これらが満たされるとき，$M$をvon Neumann環という．
（[KR] Section 5.3, [T1] Theorem II.3.9,
[UHO] 定理4.20.）

\medskip
[3] （自己共役作用素のスペクトル分解）
$H$上の自己共役作用素（self-adjoint operator）$h$（すなわち$h=h^*$）
に対し，スペクトル測度$\{E_\la\}$が
一意的に存在して，$h=\int_{-\infty}^\infty \la\;dE_\la$と表せる．
ただし，$E_\la$は，$H$上の直交射影（projection）の
族であり，次の性質を満たすものである．$E_\la$はspectral projection
と言われる．

\roster
\item $E_\la\le E_\mu,\qquad (\la < \mu)$.
\item $\mu\downarrow\la$のとき，$\|E_\mu\xi-E_\la\xi\|\to0,\qquad
\forall \xi\in H$.
\item $\la\downarrow-\infty$のとき，$\|E_\la\xi\|\to0,\qquad
\forall \xi\in H$.
\item $\la\uparrow\infty$のとき，$\|E_\la\xi-\xi\|\to0,\qquad
\forall \xi\in H$.
\endroster

$h$が有界のときは，$h$のスペクトルは有界区間$[a,b]$に含まれ，
上の積分は$\int_a^b$で置き換えられる．

（これについては，さまざまな関数解析の本を見よ．たとえば，
「関数解析III」（伊藤清三，岩波講座基礎数学）の12章，
「関数解析」（黒田成俊，共立数学講座15）の12章，
\lq\lq Functional Analysis'' (K. Yosida, Springer)のChapter XI,
\lq\lq Functional Analysis'' (W. Rudin, McGraw Hill) Theorem 13.30
など．）

\medskip
[4] （自己共役作用素に対するfunctional calculus）
自己共役作用素$h$に対し，$h$のスペクトル上のBorel関数$f$に対し，
$f(h)$が，
$f(h)=\int_{-\infty}^\infty f(\la)\;dE_\la$で定まる．
$f$が有界関数であれば，$f(h)$も有界作用素である．

（たとえば，
「関数解析III」（伊藤清三，岩波講座基礎数学）の11章4節，
「関数解析」（黒田成俊，共立数学講座15）の12章5節 --- ただし
$f$が連続の場合のみ ---，
\lq\lq Functional Analysis'' (K. Yosida, Springer)のChapter XI,
section 12
\lq\lq Functional Analysis'' (W. Rudin, McGraw Hill) Theorem 13.24
などを見よ．）

\medskip
[5] （作用素の正値性）
$H$上の有界線型作用素$x$について，以下の条件は同値である．これらが
満たされるとき，$x$は正であるといい，$x\ge 0$と書く．

\roster
\item $(x\xi,\xi)\ge0,\qquad\forall \xi\in H$.
\item $x=x^*$かつ$x$のスペクトルは$[0,\infty)$に含まれる．
\item $x=y^*y$なる$y\in B(H)$が存在する．
\endroster

（[T1] Theorem I.6.1,
\lq\lq Functional Analysis''
(W. Rudin, McGraw Hill) Theorems 12.32, 12.33.）

自己共役作用素$x,y$に対し，$x-y\ge0$のとき，$x\ge y$とかく．
このとき，任意の$z\in B(H)$に対し，
$z^*xz\ge z^*yz$である．

\medskip
[6] von Neumann環$M$の任意の元は，$M$内のunitary 4個の1次結合で書ける．
（$u\in B(H)$がunitaryとは，$u^*u=uu^*=1$を満たすことである．
$u^*u=1$だけならisometryと言われる．）
（[T1] Proposition I.4,9, [UHO] 補題3.18.）
この事と，[3]の一意性より，$h\in M$の時，$h$のスペクトル分解に現われる
spectral projection $E_\la$は$M$に属することがわかる．

\medskip
[7] （極分解，polar decomposition）
$x\in B(H)$に対し，$x=u|x|$という極分解ができる．ここで，
$|x|=(x^*x)^{1/2}$, $u$は$|x|\xi\mapsto x\xi$で定まり，
$\{|x|\xi\}^{\perp}$上で0となるpartial isometryである．
（$u$がpartial isometryであるとは，
$H_1$上でisometry，$H_2$上で0となるような
分解$H=H_1\oplus H_2$が取れることである．
$u^*u$, $uu^*$がprojectionであること，
と言っても同じである．）$x$がvon Neumann環$M$に属していれば
上の$u,|x|$も$M$に属している．
（[UHO] 定理1.8, page 97.）

\medskip
[8] （II$_1$ factorの定義と例）

行列環の増大列
$M_2(\C)\subset M_2(\C)\otimes M_2(\C)\subset
M_2(\C)\otimes M_2(\C)\otimes M_2(\C)\subset\cdots$を
$x\mapsto x\otimes 1$という埋込みで定める．また，$\tau(x)$を
行列としての$\Tr(x)$を$x$のサイズで割ったものと定めれば，
この$\tau(x)$は，埋込みとcompatibleで，増大列のunion $A$上の
linear functional $\tau$を定める．次に，$A$上の内積
$(x,y)=\tau(y^*x)$によって，$A$を完備化したHilbert空間を
$L^2(A)$と書けば，$A$は$L^2(A)$上に，左掛け算で作用する．
この表現による$A$の像の弱閉包を$M$とおく．
すると，$M$上の，trace $\tau$が
$\tau(x)=(x\hat 1,\hat1)$によって
次の条件を満たすように定まる．ただし，$\hat 1$は，
$1\in A$を$L^2(A)$の元と見なしたものである．
（これらの条件を満たすlinear functionalは，
(normalized faithful normal) traceと言われる．）

\roster
\item $\tau(x^*x)\ge0$.
\item $\tau(x^*x)=0$ iff $x=0$.
\item $\tau(xy)=\tau(yx)$.
\item $\tau(1)=1.$
\item $\tau$は，$\si$-weakly continuous.
\endroster

また$M$上の(1)〜(5)を満たす
linear functionalは，上で作った$\tau$に限ることもわかる．
このように，von Neumann環$M$上に，traceが一意的に
存在するとき，$M$はII$_1$ factorと言われる．
一般に，II$_1$ factor $M$のcenter $M\cap M'$は，$\C$である．
また，この作り方では，$M$内に，有限次元環の増大列があり，
その
unionは，weakly denseになっている．このようなII$_1$ factorを
AFD (approximately finite dimensional)と言う．（この条件は，
hyperfiniteとも言われる．）

\medskip
[9] （$M$上の$\si$-weakly continuous functionalの決定）
von Neumann環$M$上の$\si$-weakly （あるいは$\si$-strongly）
continuousなlinear functional $\phi$は，
$\xi_,\eta_n\in H$で$\sum_{n=1}^\infty\|\xi_n\|^2 < \infty$,
$\sum_{n=1}^\infty\|\eta_n\|^2 < \infty$となるものにより，
$\phi(x)=\sum_{n=1}^\infty(x\xi_n,\eta_n)$と表される．
（[T1] Theorem II.2.6,
[UHO] 定理4.6.）

\medskip
[10] （trace class operator）
$B(H)$の元$x$に対し，$\Tr(|x|)=\sum_{n=1}^\infty(|x|\xi_n,\xi_n)$とおく．
ここで，$\{\xi_n\}_n$は$H$の完全正規直交系であり，
右辺は，$\{\xi_n\}_n$の取り方にはよらない．この値が有限であるとき，
$x$はtrace classであるといわれ，
$\Tr(x)=\sum_{n=1}^\infty(x\xi_n,\xi_n)$も定まる．
Trace classであるような$x$に対し，$\|x\|_1=\Tr(|x|)$とおくと，
trace class operator全体は，このnormでBanach空間$T(H)$になる．
これは，$H$上のcompact operator全体$K(H)$のdual spaceであり，
$T(H)$のdual spaceは，$B(H)$となる．
（[T1] Chapter II, Section 1,
[UHO] 2章4節，定理2.18, 2.20.）

\medskip
[11] （Hahn-Banachの定理の幾何学形）

$K$を実norm空間$X$の閉凸集合とし，$x_0\notin K$とする．このとき
$f\in X^*$が存在して，
$\sup_{x\in K} f(x) < f(x_0)$となる．

たとえば，
「関数解析II」（藤田宏，伊藤清三，岩波基礎数学講座）定理8.16,
\lq\lq Functional Analysis'' (W. Rudin, McGraw Hill) Theorem 3.4
などを見よ．

\medskip
[12] （Banach-Alaogluの定理）
Norm空間$X$のdual space $X^*$の単位球はweak $*$ compactである．

たとえば
\lq\lq Functional Analysis'' (W. Rudin, McGraw Hill) Theorem 3.15を見よ．

\medskip
[13] （predual）
von Neumann環$M$に対，$M$上，ultraweakly continuousな
linear functional全体を$M_*$と書く．するとこれは
Banach空間になり，$(M_*)^*=M$である．
また，$M$の$\si$-weak topologyは，$(M_*)^*$と
してのweak $*$ topologyに一致する．
（[T1] Chapter III, Section 2,
[UHO] 定理4.10.）

\medskip
[14] （Kaplanskyのdensity theorem）
$M$を$B(H)$の$*$-部分環とする．$x$が$M$の
弱閉包に入っていれば，$M$内のnet $x_i$で，
$\|x_i\|\le \|x\|$, $x_i\to x$ (strongly)と
なるものが存在する．
（[T1] Theorem II.4.8,
[UHO] 定理4.22.）

\medskip
[15] （GNS-表現）
II$_1$ factor $M$とその上のtrace $\tau$を取る．
$M$の$L^2(M,\tau)$上への表現$\pi$が作れ，
$\pi(M)$はvon Neumann環となり，
$\pi,\pi^{-1}$は，ともに$\si$-weakly continuousとなる．
（[T1] Theorem I.9.14, Corollary 3.10.）

\medskip
[16] （Radon-Nikodym型定理）
II$_1$ factor $M$とその上のtrace $\tau$，
$\phi\in M_*$に対し，$\phi(x^*x)\le \tau(x^*x)$がすべての
$x\in M$に対して成り立てば，$0\le a\le 1$を満たす$a\in M$が存在して，
$\phi(x)=\tau(ax)$と書ける．
（[UHO] 定理6.7.）

\medskip
[17] （II$_1$ factorにおけるprojectionの比較）
II$_1$ factor $M$とその上のtrace $\tau$を取る．$M$内のprojection
$e,f$に対し，$u^*u=e, uu^*=f$となるpartial isometry $u$が$M$内に
取れるとき，$e\sim f$と書く．これは，同値関係である．また，
$e\sim f_1$, $f_1\le f$となるprojection $f\in M$が取れるとき，
$e\prec f$と書く．$e\prec f$, $f\prec e$であれば，$e\sim f$
である．
（[T1]  Proposition V.1.3,
[UHO] 定理4.41.）任意のprojection $e,f\in M$に対し，以下の3つのうちの
一つが成り立つ．

\roster
\item $e\prec f$, $e\not\sim f$.
\item $e\sim f$.
\item $f\prec e$, $e\not\sim f$.
\endroster

また，上の(1), (2), (3)は，それぞれ$\tau(e) < \tau(f)$,
$\tau(e)=\tau(f)$, $\tau(e) > \tau(f)$と同値である．
（[T1] Chapter V, Sections 1,2,
[UHO] 定理4.45.）

\medskip
[18] （conditional expectation）
II$_1$ factor $M$とその上のtrace $\tau$，$M$の部分von Neumann
環$N$に対し，conditional expectationと呼ばれる$M$から$N$への次の
条件を満たす
線型写像が一意的に存在する．

\roster
\item $\tau(xy)=\tau(E(x)y),\qquad x\in M, y\in N$.
\item $E(x^*x)\ge0,\qquad x\in M$.
\item $E(axb)=aE(x)b,\qquad a,b\in N, x\in M$.
\item $E$は，$\si$-weakly continuous.
\endroster

（[T1] Proposition V.2.36,
[UHO] 定理6.24.）

\medskip
[19] 
II$_1$ factor $M$とそのvon Neumann部分環$N$, $x\in M$に対し，
$K(x)$を$\{uxu^*\mid u\hbox{は$N$のunitary}\}$とし，
さらに$\ti K(x)$をその$\si$-weak closureとする．
すると，$\ti K(x)\cap N'\cap M= E_{N'\cap M}(x)$である．
（[T2] 補題VII.2.5.）

\medskip
[20] （AFD II$_1$ factorの一意性）
AFD II$_1$ factorはすべて同型である．
（[T2] VII章2節.）

\bye