\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}
\baselineskip 16pt
\NoBlackBoxes
\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\N{\bold N}
\define\ep{\varepsilon}
\nopagenumbers
\centerline{1996年度解析学VII・関数解析学・演習問題}
\rightline{5/22/1996}
\rightline{河東泰之}

\bigskip [19]
$L^p(\Omega)^*$が$L^q(\Omega)$であるという授業の証明で，
「すぐできる」と言って飛ばした次の4点について，証明せよ．

(1) $g\in L^1(\Omega)$で，$\Omega$の任意の可測集合
$E$について，$\mu(E)>0$ならば
$\left|\dfrac{1}{\mu(E)}\dsize\int_E g(x)\;d\mu\right|\le
C$であるとする．（$C$は定数である．）この時，
$|g(x)|\le C$が$\Omega$上ほとんどいたるところ成り立つ．

(2) $\mu(\Omega)<\infty$の時，$L^\infty(\Omega)$は$L^p(\Omega)$
で稠密である．

(3) $\Omega=\bigcup_{n=1}^\infty \Omega_n$で，各$\Omega_n$について
$\mu(\Omega_n)<\infty$であり，また$\Omega_n\subset\Omega_{n+1}$で
あるとする．各$g_n\in L^q(\Omega_n)$を，$f\in L^p(\Omega_n)$ならば
$\phi(f)=\dsize\int_\Omega f(x)g_n(x)\;d\mu$となるように取る．
この時，$\Omega_n$上ほとんどいたるところ，
$g_n(x)=g_{n+1}(x)$である．

(4) 上の状況で$\bigcup_{n=1}^\infty L^p(\Omega_n)$は
$L^p(\Omega)$で稠密である．

\bigskip [20]
$\ell^1$から$c_0$への作用素$T$を
$\{Tx\}_n=\{\sum_{m\ge n} x_m\}_n$で定める．これが有界線型作用素
であることを示せ．このnormは何か．

\bigskip [21]
$X$をBanach空間，$Y$をその（閉とはかぎらない）部分空間とする．
$Y$のannihilater $Y^\bot$を，
$$Y^\bot=\{\phi\in X^*\mid \phi(y)=0,\;\; \forall y\in Y\}$$
と定め，また$X^*$の部分空間$Z$に対し，
$$Z^\bot=\{x\in X\mid \phi(x)=0,\;\; \forall \phi\in Z\}$$
とおく．この時，次の各命題を示せ．

(1) $Y^\bot$は$X^*$の閉部分空間である．

(2) ${Y^\bot}{}^\bot$は$Y$の閉包に等しい．

(3) もし，$Y$が$X$の閉部分空間であれば，
$Y^*$は，$X^*/Y^\bot$と同型である．

\bigskip [22]
sup normに関するBanach空間$C[0,1]$を考える．
この部分集合$X_n$を，
「すべての$y\in[0,1]$に対して，$|f(x)-f(y)|\le n |x-y|$」
となるような$x\in[0,1]$が存在するような$f(x)$の集合とする．
各$X_n$は閉集合で内点を持たないことを示せ．このときBaireの
category定理から何がわかるか．

\bigskip [23]
$X, Y, Z$をBanach空間とする．$X\times Y$から$Z$への作用素
$T$が次の条件を満たすとする．

(1) 各$x\in X$に対し，$y\mapsto T(x,y)$は$Y$から$Z$への有界線型
作用素である．

(2) 各$y\in Y$に対し，$x\mapsto T(x,y)$は$X$から$Z$への有界線型
作用素である．

この時，$X$で$x_n\to x$, $Y$で$y_n\to y$であれば
$Z$で$T(x_n,y_n)\to T(x,y)$であることを示せ．

\bigskip
\bigskip
これまでの演習問題の中から次のように選択して，6月5日（水）の
授業の際に提出してください．採点して返却します．

(1) [3], [6], [8], [17], [19]の中から2題．

(2) [5], [12], [15], [21]の中から1題．

(3) [7], [13], [22], [23]の中から1題．

この後，もう1回，7月17日にレポートを出してもらいます．2回の
レポートは各20点満点で採点します．その点数を
それぞれ$x_1$, $x_2$点とし，期末試験の点を$x$点としたとき，
最終成績は$0.6x+\max(0.2x,x_1)+\max(0.2x, x_2)$点とします．

\bigskip
これまでの演習問題のファイルは，
http://www.ecc.u-tokyo.ac.jp/$\tilde{\hphantom{x}}$nyasu/
で取れます．
\bye