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\centerline{1996年度解析学VII・関数解析学・演習問題}
\rightline{5/1/1996}
\rightline{河東泰之}

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[8] $X$をBanach空間とする．$X$の完備化$\tilde X$は自然に$X$と同型に
なることを示せ．

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[9] 有限次元Banach空間$X$から有限次元Banach空間$Y$への線形写像は
自動的に有界になることを示せ．

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[10] Baireのcategory定理で完備性の仮定を落としたときは結論が
成り立たないことがあることを例によって示せ．

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[11] 次の条件を満たす例をあげよ．

$T$はBanach空間$X$からBanach空間$Y$への有界線形写像で，
$T$の値域は無限次元だが，$T$は開写像ではない．

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[12] $X$を無限次元Banach空間とする．$X$の中に次の
条件を満たすような列$\{x_n\}_{n=1,2,3,\dots}$は存在しない
事を示せ．（ヒント: Baireのcategory定理を使う．）

$X$の任意の元は，$\{x_n\}$のうちの有限個の1次結合で表される．

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[13]* 次の命題を示せ．下に方針のヒントをつけるが別の方針でできれば
もちろんそれでもよい．

$(\Omega,\mu)$を測度空間で$\mu(\Omega)=1$とする．$p\in[1,\infty)$に対し，
$X$を$L^p(\Omega)$の閉部分空間とする．もし，$X\subset L^\infty(\Omega)$
であれば，$X$は有限次元である．(Grothendieck)

[方針] (1) $T:(X, \|\;\;\|_\infty)\to (X,\|\;\;\|_p)$を$Tf=f$と定め，
これに開写像定理を適用する．

(2) $p=2$の時は，開写像定理から定まる定数
$C$が取れて，$X$の（$L^2$-内積に関する）正規直交系$f_1,f_2, \dots, f_n$
に対し，$\int_\Omega \sum_{j=1}^n |f_j(x)|^2\;dx\le C^2$となることを
示す．

(3) $p\in[1,2)$の時は，$1/(2/p)+1/q=1$となるように$q>1$を取る．
H\"olderの不等式を用いて，$p=2$の場合に帰着させる．

(4) $p>2$の時も，$p=2$のときに帰着させる．


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後で問題がたまったところで，○○題選んで解け，といった形で
レポートを出してもらいます．

\bye