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\centerline{1996年度解析学VII・関数解析学・演習問題}
\rightline{7/26/1996}
\rightline{河東泰之}

\bigskip [41]
$D=\{z\in \C\mid |z|<1\}$とおき，
$$H=\{f(z)\mid \hbox{$D$上の正則関数で}
\int_D |f(x+iy)|^2\;dxdy<\infty\}$$
として，$f,g\in H$に対し，
$$(f,g)=\dsize\int_D f(x+iy)\overline{g(x+iy)}\;dxdy$$
とおく．

(1) この内積で$H$はHilbert空間になることを示せ．

(2) $T:f(z)\mapsto zf(z)$は，$H$上のFredholm operator
になることを示せ．そのindexはいくらか．

\bigskip [42]
$\ell^2$上の有界線型作用素，$T$を
次のように定める．
$$T(x_1, x_2, x_3,\dots)=
(0,\frac{1}{1}x_1, \frac{1}{2!}x_2, \frac{1}{3!}x_3,\dots).$$
この作用素のスペクトルを求めよ．

\bigskip [43]
$[0,1]$上の実数値連続関数$f(x)$を固定し，
$L^2(0,1)$上の$f$による掛け算作用素を$A$とする．
$A$のスペクトル分解に現れる$E(\lambda)$を具体的に記述せよ．

\bigskip
これは単に自分でやるための演習問題です．
レポート提出とは関係ありません．

\bigskip
今日返したレポートは各問5点でつけてあります．平均は15.8点でした．


\bye