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\centerline{1996年度解析学VII・関数解析学・演習問題}
\rightline{6/19/1996}
\rightline{河東泰之}

\bigskip [32]
次の行列をHilbert空間$\C^3$から$\C^3$への作用素と思った
ときのnormを求めよ．
$$\left(\matrix 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2
\endmatrix\right)$$

\bigskip [33]
Hilbert空間$\ell^2$の元，$x=(x_n)$に対し，
$(Tx)_n=c_n x_{n+1}$とはたらく作用素$T$を考える．
ただし，ここで$(c_n)$は有界な複素数列である．
いつ，この$T$がcompact作用素になるか答えよ．

\bigskip [34]
任意の$L^1(\R)$の元$f(x)$に対し，$L^2(\R)$上の作用素
$T_f:g\mapsto f*g$, ($g\in L^2(\R)$)を考える．これは
常にcompact operatorであるか？理由をつけて答えよ．

\bigskip [35]
$T$をBanach空間$X$からBanach空間$Y$へのcompact operatorとする．
$TX$が，$Y$の閉部分空間であれば，$TX$は，有限次元であることを
示せ．

\bigskip [36]
反射的（reflexive）Banach空間$X$からBanach空間$Y$へのcompact operator
$T$に対し，
$\|Tx\|=\|T\|$となる$x\in X$で，$\|x\|=1$となるものが
存在することを示せ．

\bigskip [37]
可分な無限次元Hilbert空間$H$上のcompact operator全体のなす
Banach空間を$K(H)$とする．この$K(H)$は，
可分であることを示せ．

\bye