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\centerline{1996年度解析学VII・関数解析学・演習問題}
\rightline{6/13/1996}
\rightline{河東泰之}

\bigskip [27]
$\ell^\infty$の単位球は弱点列compactか？
理由を付けて答えよ．

\bigskip [28]
$f\in L^2(\R)$に対し，$f_n(x)=e^{inx}f(x)$とおく．Hilbert空間
$L^2(\R)$で，関数列$\{f_n\}_n$は，弱収束先を持つか？持つならば
その弱極限は何か？

\bigskip [29]
Banach空間$c_0$における点列$\{x_n\}_n$を
考え，$x_n$は複素数列$\{x_{nk}\}_k$であるとする．
この点列$\{x_n\}_n$が
0に弱収束するための必要十分条件は，
$\dsize\sup_n \|x_n\|<\infty$かつ，すべての$k$について
$\dsize\lim_{n\to\infty} x_{nk}=0$となることである．
このことを証明せよ．

\bigskip [30]*
Banach空間$\ell^1$の点列$\{x_n\}_n$が$x\in\ell^1$に弱収束している
とする．このとき，実は$\{x_n\}_n$は，$x$に$\ell^1$-normで
収束していることを示せ．

\bigskip [31]
Hilbert空間$H$上の作用素の列$T_n$が，次の条件を満たすとする．

すべての$x\in H$について，列$\{T_n x\}_n$は0に弱収束する．

このとき$\{T_n\}_n$は有界であることを示せ．

\bye