数学II,東京大学教養学部(理II・III,1年生)
木曜1限,9:00-10:30,2010年通年

TA
夏学期: 大島芳樹,田中雄一郎
冬学期: 奥田隆幸,田中雄一郎

講義 [ 前期後期 ]
演習 [ 前期後期 ]

  1. 4月8日
    ガイダンス
    記号(集合など)
    行列の定義
  2. 4月15日
    抽象的な概念を理解するために、記号に慣れることが必要です。
    記号に慣れることを目的として、やさしめの演習問題とその解答を用意しましたので、次回の講義までに、自分で手を動かして解いてみてください。
    行列の積
     Σ、二重和ΣΣ
     行列の積の結合法則、分配法則
     積は可換ではない
    連立一次方程式
    [
    演習問題解答 ]
  3. 4月22日
    連立一次方程式の行列表示
    手法と到達目標
    係数行列と拡大係数行列
    解を不変にする式変形 → 行に関する基本変形
    行に関する基本変形の標準形
    [ 演習問題解答 ]
  4. 5月6日
    行に関する基本変形とその標準形
    行および列に関する基本変形とその標準形
    上記の手順と、基本行列による積との関係
    [ 演習問題解答 ] [ 小テスト解答点数分布 ]
  5. 5月13日
    正則行列と逆行列

    定理:n 次正方行列に関して次の4条件は同値である
    (i) 基本行列の積として表すことができる
    (ii) 右逆元が存在する
    (iii) 左逆元が存在する
    (iv) 正則行列

    この定理の意味と論証
    [ 演習問題解答 ]

  6. 5月20日
    定理 行列の階数(ランク)が矛盾なく定義できる(英語で well-defined)であること
    定理 n 次正方行列 A に対して rank A = nA は正則行列
    掃き出し法による逆行列の計算方法
    [ 演習問題解答 ] [ 小テスト解答点数分布 ]
  7. 5月27日
    定理 行列の階数は転置をとっても変わらない.
    補題 正方行列 P に対して P が逆行列をもつことと, P の転置行列が逆行列をもつことは同値である.
    定理(重要) 行列のランクは両側から正則行列をかけても変わらない.
    定義:線型結合, ベクトルが一次(線型)従属, 一次(線型)独立であること
    例:3方向の力が釣り合えば、そのベクトルは同じ平面内にある
    [ 演習問題解答 ]
  8. 6月3日
    定理(行列 A のランクの特徴づけ)  A を構成する縦ベクトルのうち,一次独立なものの最大の本数は rank A と等しい.
    補題  行列 A を構成する縦ベクトルのうち一次独立なものの最大の 本数は行基本変形,列基本変形によって変わらない.
    [ 演習問題解答 ] [ 小テスト解答点数分布 ]
  9. 6月10日
    定理(連立一次方程式 Ax=b の解の存在)
    (1)解が存在する ⇔ rank A =rank (A b) (ここで (A b) は方程式 Ax =b の拡大係数行列を表すものとする)
    (2)解が存在し、さらに一意的である⇔ [rank A = rank (A b) =未知数の個数]
    (3)rank A= rank (A b) < 未知数の個数のときは解は無限個存在する
    解の自由度の定義
    [ 演習問題解答 ] [ 小テスト解答点数分布 ]
  10. 6月17日
    内積と余弦定理
    平行四辺形の面積
    3次元ベクトル空間の外積の定義
    外積の性質
    平行六面体の体積と行列式
    行列式の幾何的な意味
    [ 演習問題解答 ]
  11. 6月24日
    置換,対称群,互換の定義

    定理 (1) 置換は互換の合成として表される.
    (2) 置換を互換の合成として表す方法は一意的ではない. ある置換を互換の合成として表す際に現れる互換の個数が 偶数個であるか,奇数個であるかは表し方によらない.

    置換の符号 sgn の定義
    [ 演習問題解答 ]

  12. 7月1日(木) 中間試験
    [ 試験問題講評点数分布 ]
    列に関する多重線型性,列に関する交代性,正規化条件を みたす関数はどのような関数だろうか.
    行列式の定義
    [ 講義資料 ] [ 演習問題解答 ]
  13. 7月8日
    行列式の性質
    定理 行列を転置しても行列式は不変
    命題 行列式は行に関する多重線型性,行に関する交代性をみたす.
    定理 det (AB)= (det A)(det B)
    正方行列の余因子の定義
    定理 行列式の展開公式
    定義 余因子行列の定義
    定理 正方行列 A の余因子行列を A~ としたとき
    A A~ = A~ A = (det A) E
    が成り立つ
    系 正方行列 A が正則行列であるための必要十分条件は det A ≠ 0 である
    系 正則行列 A の逆行列は A-1 = (1/ det A) A~ と表される
    [ 講義資料 ] [ 演習問題解答 ]
  14. 9月2日(木) 定期試験 10:55-12:25 723教室
    範囲は一学期間全体のものです(中間試験の範囲を含みます)
    [ 試験問題解答 ]
  15. 10月7日(木)
    線型空間,ベクトルの定義
    線型空間の例
    一次結合、一次従属、一次独立の定義
    線型空間の基底の定義(重要)

    抽象的な線型空間やベクトルのイメージが まだつかみにくいかもしれません。 夏学期に数ベクトルの一次独立性を学習しました。 今回の講義に違和感を感じられる場合は、5 月 27 日の講義内容を復習してみましょう。

  16. 10月14日(木)
    基底の定義の復習
    基底の存在定理
    一次独立なベクトルの拡張定理
    線型写像の定義
    [
    演習問題解答 ]
  17. 10月21日(木)
    小テストの寸評(TA:奥田隆幸)
    満点10点 平均点 : 7.6点
    問1(線形写像の定義)平均点 : 3.6点
    問2(一次結合の計算)平均点 : 4.1点
    寸評:
    問1は線形写像の定義を述べる問題でした. 書けていない人も多数見られましたが, 線形写像の定義を理解できていないと今 後の講義についていけなくなってしまうので, しっかり復習をしておいてください.
    問2はベクトルの一次結合の計算問題でした. 計算方法が分からないという人はほとんどいませんでした. 点が取れていない人は単純な計算ミスをしているので気をつけましょう.
    [ 演習問題解答 ] [ 小テスト1解答 ]
  18. 10月27日 夏学期追試験
    [ 試験問題 ]
  19. 10月28日(木)
    基底を構成するベクトルの個数

    抽象線型空間を一つ固定したとき,基底を構成するベクトルの個数は一定だろうか?
    次元(dimension)の定義
    線型部分空間の定義
    線型写像の像と核
    次元公式 dim Ker T + dim Image T = dim V
    [ 演習問題解答 ] [ 小テスト2解答寸評 ]

  20. 11月4日(木)
    線型写像の表現行列
    可換図式による記法
    [ 演習問題解答 ] [ 小テスト3解答 ]
  21. 11月11日(木)
    基底の変換行列
    基底の変換行列と正則行列の対応(命題 17.2.1, 命題 17.2.2)
    [ 演習問題解答 ] [ 小テスト4解答(修正版) ]
  22. 11月18日(木)
    線型写像の行列表示と基底の変換行列の関係を調べる
    基底の変換と線型写像の行列表示(定理 18.3)
    線型写像の表現行列でなるべく「簡単」なものを見つけよう
    線型写像の階数(ランク)の定義(定義 18.4.1)
    [ 演習問題解答 ] [ 小テスト5解答寸評 ]
  23. 11月25日(木)
    線型写像のランクと行列表示のランク
    計量線型空間と内積
    正規直交基底
    シュミットの直交化法
    [ 講義資料 ] [ 演習問題解答(2011.1.18更新) ] [ 小テスト6解答寸評 ]
  24. 12月2日(木)
    線型写像 T : V → U の標準化(復習)と線型写像 T : V → V の標準化(これからの目標)についての比較
     前者は実数上でも複素数上でも答えは同じだが、後者は実数上と複素数上では答えが異なりうる。
     前者はrank Tが不変量、後者は固有値が不変量
    不変部分空間の定義と例
    不変部分空間と線型写像
    [ 演習問題解答 ] [ 小テスト7解答寸評 ]
  25. 12月9日(木)
    線型写像 V -> W の標準形の復習(実数上、複素数上で同じ結果)
    線型写像 V -> V の標準形の考え方(実数上、複素数上で異なる例)
    線型写像の不変部分空間、
    固有値、固有ベクトル、固有空間
    固有空間と不変部分空間
    3つ以上のベクトル空間の直和
    [ 演習問題解答 ] [ 小テスト8解答 ]
  26. 12月16日(木)
    線型写像の行列式 (基底によらない概念であることの証明)
    V から V への線型写像の単射性,全射性
    線型写像の固有値、固有ベクトル、固有空間
    [ 演習問題解答 ]
  27. 1月13日(木)
    線型写像の対角化、行列の対角化
    線型空間の直和
    3つ以上のベクトル空間の直和
    相異なる固有値に対する固有空間
    van der Monde の行列式
    線型写像の対角化
    [ 演習問題解答 ]
  28. 1月20日(木)
    対角化とその応用
     同じ空間の間の写像 T -> 繰り返し T^n を考えることができる
       捕食関係にある2種類の生物の個体数の長期的変動と行列の固有値について
       最大固有値の方向---安定方向
       実固有値---周期性をもたない
     座標のないところに、写像にふさわしい座標をみつける
      山頂に到達する2つの道(急坂、なだらかな坂)は直交する
       (微分積分 -> Hessian -> 対角化)

    冬学期の講義のまとめ
     1.座標のないところに、写像にふさわしい座標系をみつける
       * 抽象的な線形空間の概念を導入する意義
       * 抽象的な線形写像 と 基底による行列表示
       * 基底の取替えで、かわるもの、かわらないもの
     2.2つの線形空間の間の写像の標準形
       * rankは基底の取替えによらない不変量
       * 行基本変形の考え方(連立方程式の形が変わっても、解の構造は不変)
     3.同じ線形空間の間の写像の標準形
       * 固有値は写像の不変量 (とくに Traceや detも不変量)
        * 対角化 (座標は、写像によってベストなものを選ぶ)

    12月に行われた海外の著名大学の線形代数の試験問題の紹介
    [ 演習問題解答 ] [ 小テスト解答 ]

  29. 1月27日(木)
    この日は水曜日の講義が行われるため、この講義はありません
  30. 2月9日(水) 期末試験
    [ 試験問題解答例 ]

演習: 木曜2限

夏学期:奈良光紀 特任助教
冬学期:笠谷昌弘 特任助教
  1. 4月8日
    第1回の演習は、小問が12個、1個1点として、12点満点としました。 平均点は、9.88点。全体的に良く出来ていました。 正答率がやや低かったのは、問題2(3)、問題3(2)、(3)でした。
    [
    演習問題解答 ]
  2. 4月22日
    第2回の演習は11点満点で、平均点が8.9点でした。 全体的に良く出来ていましたが、 A_{ij}, (AB)ij, ∑i=1m などの数学記号に まだ慣れていない学生が若干見受けられました。
    [ 演習問題解答 ]
  3. 5月13日
    3回めの演習は、かなり悪く、 9点満点で、平均点は4.3点です。
    行列の基本変形の意味(行の交換、定数倍、他の行に加える)は 多くの学生が理解しているようでしたが、講義で行った変形のアルゴリズム を分かっておらず、試行錯誤的な変形を繰り返している答案が多く見受けられました。
    また、標準形(とくに行基本変形での標準形)の意味を 理解していない学生も、少数ですがいたようです。 (単位行列は標準形の特別の場合であることなど)
    [ 演習問題解答 ]
  4. 5月27日
    第4回の演習は、11点満点で、平均点が7.1点でした。
    コメント: 行列の基本変形や、区分けによる計算は多くの学生が 理解しているようです。逆行列の計算は良く出来ていました。 一方、証明問題の解答では、論理の流れやつながりが 不明瞭な記述が多く見られました。仮定、条件、結論、使った定理の内容などを 明確に記述し、丁寧な論理の書き方をする必要があると感じられました。
    [ 演習問題解答 ]
  5. 6月10日
    第5回の演習は、8点満点で、平均点は5.82点でした。
    一次独立の定義は多くの学生が理解しており、 全体的に正答率が高く、良く出来ていました。 一次独立性の判定に必要となる行列の基本変形や階数の概念は 殆どの学生がしっかりと習得している様子です。 一方で、正答率が3割以下の学生も、1割ほどおり、 そのような学生は、基礎概念の復習が必要であると感じられました。
    [ 演習問題解答 ]
  6. 6月24日
    第6回の演習は、10点満点で平均点は8.48点でした。 全体的に良く出来ていました。
    外積や行列式に関する問題では、計算ミスによる誤答は ありましたが、多くの学生が内容を正しく理解しているようです。 置換に関しては、置換や互換の合成の順序(τσ ≠ στ) を間違えた学生がやや多く見られました。
    [ 演習問題解答 ]
  7. 7月8日
    第7回の演習は13点満点で、平均点は、9.18点でした。 得点の平均自体は悪くないものの、概念的な理解(たとえば 行列式の定義や行列式の諸性質の理解)が不十分だと 感じられる答案がかなりありました。 概念的な理解が不十分だと思われる方は、夏休みにしっかりと復習してください。 また、 計算ミスや勘違いによる誤答もやや目立ちました。
    なお、前期の演習は終了しましたので、今回の答案の返却と解答プリントの配布は、教務窓口を通じて行います。
    [ 演習問題解答 ]
  8. 10月14日
    線型空間に慣れてもらうために, あえて定義をチェックする問題を多くした. すべての問題に時間内に手がつけられなかったからといって(現時点では)心配する必要はない. 時間内に解けなかった問題には自主的に取り組んでおくことを推奨する.
    問(b)は「n変数多項式」のことを「n変数の1次式」だと誤解している解答が非常に多かった. 問2(e)は数ベクトルとして和やスカラー倍をとったものが「方程式を満たす」ことに言及しなければ正答にならない. 問3(c)の後半は, 議論がおおざっぱすぎて証明になってないものが目立った. また問3(e)は, 前半はやさしいが, 後半(線型空間の公理を満たすような和とスカラー倍の導入)は難しいかもしれない.
    問1は採点対象外. 問2〜問3は小問ごとに1点(前後半に分かれているものはそれぞれ1点). 平均点は3.75.
    [
    演習問題解答 ]
  9. 10月28日
    問1. 0v=0 は線形空間の公理そのものではありません. 10月7日の講義で 0v=0 の証明をやっているはずなので, 忘れていた人は復習し ましょう.
    問3(2). 「{(1,2,1), (1,1,1), (-1,0,1)}は一次独立である. よってfは単射.」 という誤った論法をしている人がやや目立ちました.
    問4(2). fが同型写像であるための必要十分条件を問う問題ですが, 誤って, 「fが恒等写像であるための条件」を求めている人が目立ちました. また, 偏微分の記号∂を6と書いている人が少数いました. 注意しましょう.
    小問1問ごとに1点で6点満点, 平均点は約3.55点でした. 追試等やむを得ない理由により小テスト答案を提出できなかった人はレポート救 済します. (10月28日昼休み終了までに答案を出した人はレポート提出する必要はありません.) レポート問題は後日配布します.
    [ 演習問題・小テスト解答 ]
  10. 11月11日
    問1. 議論の順序がおかしい解答が非常に多かった. どれが「任意の元」で, どれが「〜という元が存在する」なのかを混同しないようにしよう. (詳しくは解答を参照のこと.)
    問2. (1),(3) V_1+V_2 と V_1∪V_2 を同一視している解答が一部に見られたが, この2つは別の集合である.
    問3. (1)について, 本質的にはほぼ正解に相当するが, Ker f の書き表し方がおかしい解答がやや目立った. (詳細は解答を参照のこと.) また(1)や(2)に比べて(3)の出来が悪かった. まずは表現行列の定義を思い出し, この問題の場合に具体的にどうなるのかしっかり確認しておこう. なお, 表現行列は基底の定め方によって全く別のものとなるので, どの基底で考えるか(順序を込めて)確認しよう.
    小問ひとつにつき1点, 9点満点で平均点は約5.2点.
    [ 小テスト解答 ]
  11. 11月25日
    問1, 問2. 基底の変換行列について, 定義を間違えている人が多くいました. しっかり確認しておきましょう.
    問3. (1)は比較的よく出来ていました. (2)の階数を答える問題では, 何も説明せずに rank f=2 とだけ書いている人が目立ちました. 答えだけでなく理由を説明しましょう.
    問4. 正則行列となるための条件, 行列の階数や基本変形など, 夏学期でやったことを忘れてしまった人はもう一度復習しましょう.
    小問1問につき1点(ただし問3(2)は2点)で9点満点. 平均点は3.2点でした.
    [ 演習問題解答 ]
  12. 12月9日
    小テスト寸評:
    問1. 概ねよく出来ていました. 間違えていた人の多くは, Schmidtの直交化法の手順自体は分かっていても, 具体的なベクトルを代入するときに計算ミスをしていました.
    問2. v_3 はSchmidtの直交化法を用いずに成分に関する連立方程式を直接解いても求められます.
    問3. 集合や空間と, その元であるベクトルを混同して書いている人が一部に見られます. きちんと区別しましょう.
    小問1つごとに1点(ただし問2は前半と後半で1点ずつ)で6点満点, 平均点は約3.8点でした.
    [ 演習問題とその解答・小テスト小テスト解答 ]
  13. 1月13日
    問1. よく出来ていました.
    問2. (1) Vの基底を明記せずに表現行列を書いている解答がいくつかありました. 固有多項式は基底に依存しませんが, 表現行列は基底に依存します. (1)では基底を明記していないからといって直ちに減点はしませんでしたが, 下記の(3)のことと合わせて減点・不正解になっている人が目立ちました.
    (3) 『固有空間 V_{-1} = R(1,2,1)』のように答えている人が目立ちました. いま, Vは2次以下の多項式たち全体からなる線形空間ですから, その部分空間である固有空間も多項式たちの集まりです. 「固有空間」と「列ベクトルが生成する空間」は, 同一視することはできます が, 等号(=)で結ぶことはできません. また, 同一視するにはVの基底を指定しないといけません.
    問3. 直和であることの定義は比較的よく出来ていました. 実際に連立方程式を解く, あるいはランクを計算する際にミスをしないよう注意 しましょう.
    小問1つごとに1点, ただし問1(3)と問2(3)は各固有空間ごとに1点. 11点満点で平均点は約6.7点でした.
    1月13日小テストを欠席した人はレポート問題を解いて提出してください. 提出先はアドミニストレーション棟1Fのレポートボックスです. 提出期限は試験期間が始まるまでとします.
    [ 演習問題・演習問題略解・小テスト問題小テスト略解欠席者レポート問題 ]

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© Toshiyuki Kobayashi