10月7日(木)
線型空間,ベクトルの定義
線型空間の例
一次結合、一次従属、一次独立の定義
線型空間の基底の定義(重要)
抽象的な線型空間やベクトルのイメージが
まだつかみにくいかもしれません。
夏学期に数ベクトルの一次独立性を学習しました。
今回の講義に違和感を感じられる場合は、5 月 27 日の講義内容を復習してみましょう。
10月14日(木)
基底の定義の復習
基底の存在定理
一次独立なベクトルの拡張定理
線型写像の定義
[ 演習問題 と
解答 ]
10月21日(木)
小テストの寸評(TA:奥田隆幸)
満点10点 平均点 : 7.6点
問1(線形写像の定義)平均点 : 3.6点
問2(一次結合の計算)平均点 : 4.1点
寸評:
問1は線形写像の定義を述べる問題でした.
書けていない人も多数見られましたが, 線形写像の定義を理解できていないと今
後の講義についていけなくなってしまうので, しっかり復習をしておいてください.
問2はベクトルの一次結合の計算問題でした.
計算方法が分からないという人はほとんどいませんでした.
点が取れていない人は単純な計算ミスをしているので気をつけましょう.
[ 演習問題 と
解答 ]
[ 小テスト1 と
解答 ]
10月27日 夏学期追試験
[ 試験問題 ]
10月28日(木)
基底を構成するベクトルの個数
抽象線型空間を一つ固定したとき,基底を構成するベクトルの個数は一定だろうか?
次元(dimension)の定義
線型部分空間の定義
線型写像の像と核
次元公式 dim Ker T + dim Image T = dim V
[ 演習問題 と
解答 ]
[ 小テスト2 と
解答 と
寸評 ]
11月4日(木)
線型写像の表現行列
可換図式による記法
[ 演習問題 と
解答 ]
[ 小テスト3 と
解答 ]
11月11日(木)
基底の変換行列
基底の変換行列と正則行列の対応(命題 17.2.1, 命題 17.2.2)
[ 演習問題 と
解答 ]
[ 小テスト4 と
解答(修正版) ]
11月18日(木)
線型写像の行列表示と基底の変換行列の関係を調べる
基底の変換と線型写像の行列表示(定理 18.3)
線型写像の表現行列でなるべく「簡単」なものを見つけよう
線型写像の階数(ランク)の定義(定義 18.4.1)
[ 演習問題 と
解答 ]
[ 小テスト5 と
解答 と
寸評 ]
11月25日(木)
線型写像のランクと行列表示のランク
計量線型空間と内積
正規直交基底
シュミットの直交化法
[ 講義資料 ]
[ 演習問題 と
解答(2011.1.18更新) ]
[ 小テスト6 と
解答 と
寸評 ]
12月2日(木)
線型写像 T : V → U の標準化(復習)と線型写像 T : V → V の標準化(これからの目標)についての比較
前者は実数上でも複素数上でも答えは同じだが、後者は実数上と複素数上では答えが異なりうる。
前者はrank Tが不変量、後者は固有値が不変量
不変部分空間の定義と例
不変部分空間と線型写像
[ 演習問題 と
解答 ]
[ 小テスト7 と
解答 と
寸評 ]
12月9日(木)
線型写像 V -> W の標準形の復習(実数上、複素数上で同じ結果)
線型写像 V -> V の標準形の考え方(実数上、複素数上で異なる例)
線型写像の不変部分空間、
固有値、固有ベクトル、固有空間
固有空間と不変部分空間
3つ以上のベクトル空間の直和
[ 演習問題 と
解答 ]
[ 小テスト8 と
解答 ]
12月16日(木)
線型写像の行列式
(基底によらない概念であることの証明)
V から V への線型写像の単射性,全射性
線型写像の固有値、固有ベクトル、固有空間
[ 演習問題 と
解答 ]
1月13日(木)
線型写像の対角化、行列の対角化
線型空間の直和
3つ以上のベクトル空間の直和
相異なる固有値に対する固有空間
van der Monde の行列式
線型写像の対角化
[ 演習問題 と
解答 ]
1月20日(木)
対角化とその応用
同じ空間の間の写像 T -> 繰り返し T^n を考えることができる
捕食関係にある2種類の生物の個体数の長期的変動と行列の固有値について
最大固有値の方向---安定方向
実固有値---周期性をもたない
座標のないところに、写像にふさわしい座標をみつける
山頂に到達する2つの道(急坂、なだらかな坂)は直交する
(微分積分 -> Hessian -> 対角化)
冬学期の講義のまとめ
1.座標のないところに、写像にふさわしい座標系をみつける
* 抽象的な線形空間の概念を導入する意義
* 抽象的な線形写像 と 基底による行列表示
* 基底の取替えで、かわるもの、かわらないもの
2.2つの線形空間の間の写像の標準形
* rankは基底の取替えによらない不変量
* 行基本変形の考え方(連立方程式の形が変わっても、解の構造は不変)
3.同じ線形空間の間の写像の標準形
* 固有値は写像の不変量 (とくに Traceや detも不変量)
* 対角化 (座標は、写像によってベストなものを選ぶ)
12月に行われた海外の著名大学の線形代数の試験問題の紹介
[ 演習問題 と
解答 ]
[ 小テスト と
解答 ]
1月27日(木)
この日は水曜日の講義が行われるため、この講義はありません
2月9日(水) 期末試験
[ 試験問題 と
解答例 ]