Japan. J. Math. 1, 137--261 (2006)

有限W代数 vs アファインW代数

Alberto De Sole and Victor G. Kac

Abstract: セクション1では頂点代数 $ V$ の各種の同値な定義を復習する.ここでの新規な点は $ \lambda$ ブラケットの不定積分による定義である.セクション2ではもっとも一般的な枠組みで, ジュー代数 $ Zhu_{\Gamma}V$ を定義する.これは,ハミルトニアン $ H$ の与えられた頂点代数 $ V$ に対し $ \Gamma$ -ねじれ表現をコントロールする結合的代数である.この構成の重要な特別な場合は $ H$ ねじれジュー代数 $ Zhu_H V$ である.セクション3では非線形リー共形代数および非線形リー代数の理論を復習する. その普遍包絡頂点代数および普遍包絡代数はそれぞれ,自由生成頂点代数およびPBW 生成結合代数の重要なクラスをなす.さらに非線形リー共形代数 $ R$$ H$ -ねじれジュー非線形リー代数 $ Zhu_H R$ を導入し,その普遍包絡代数が, $ R$ の普遍包絡頂点代数の $ H$ -ねじれジュー代数に同型であることを証明する. セクション4での,あとで必要になるコホモロジー的内容の議論のあと, セクション5では,量子ハミルトニアン還元の方法によるアファインおよび有限 $ W$ 代数の構成と基本的性質を復習する. これらは,最もよく研究されている自由生成頂点代数とPBW生成結合的代数の例の一部である. セクション3, 4で発展させた仕組みを用いて,アファイン $ W$ 代数の $ H$ -ねじれジュー代数は同じデータに対応する有限 $ W$ 代数に同型であることを示す.セクション6ではポアソン頂点代数のジュー代数を定義し,そ の準古典極限を議論する.付録では,有限 $ W$ 代数の三つの定義の同値性 を確立する.