Japan. J. Math. 1, 1--24 (2006)

フェルマー・オイラー合同式の行列版について

V.I. Arnold

Abstract: 整数を成分とする行列 $A$ に対し、 $A^n$ のトレースと $A^{n-\varphi (n)}$ のトレースに対する $n=p^a$ を法とする合同式について論ずる。ここで $\varphi(n)$$n$ を法とする剰余で $n$ と互いに素なものの数である。素数 $p$ を固定した時、整数行列 $A$ に対し上記の合同式が成立するかどうかを判定する アルゴリズムを与える。このアルゴリズムを適用して多くの素数 $p$ に対して合同式を証明する。特に $p\leq 7$ の素数に対しては正しい。(素数ではない $n=6$ に対しては不成立) 独立にも使われうる多くの補助的合同式を示し、数多くの予想と問題を定式化する。