Japan. J. Math. 4, 141--252 (2009)

ハミルトン方程式の理論におけるポアソン頂点代数

A. Barakat,A. De Sole,V.G. Kac

Abstract:
我々は,ハミルトン偏微分方程式の可積分性への応用を見込んで,ポアソン 頂点代数の理論の基礎を築く.そのような方程式が,無限個の線形独立な包 含的な運動の積分を持つような,互いに両立するハミルトン方程式の無限階 層に含められるとき,可積分であると言う.階層の構成と運動の積分はレナ ード・スキームを利用することによって行われる.我々は,このスキームが 変形複体Ωの閉1形式 ωj, jZ+の無限 系列を生み出すことを保証する簡単な条件を見出した.これらの形式が完全 であれば,すなわちωjがある局所汎関数 ∫ hjの変形微分 であれば,後者は,対応するハミルトン・ベクトル場の作る階層の包含的な 運動の積分である.我々は,関数V の代数が 「正規」であれ ば,複体Ωが完全であることを示す.特に,任意の V に対し,Ωの任意の閉形式は, V に有限個の反微分を 加えれば,完全になる.KdV,HD,CNW 階層の例について,レナード・スキー ムがどう働くかを示す.またHD型の CNW 階層と呼ぶ新たな可積分階層を発 見した.ドルフマンのアイディアを発展させることにより,レナード・スキ ームを任意のディラック構造に拡張し,その適用可能性をNLS,pKdV,KN階層 に対して示す.