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2006年度年次報告書 （2004年度版はここをクリック）

小林俊行（リー群の無限次元表現論，不連続群論）

１．簡約リー群のユニタリ表現論

ユニタリ表現論においては， 表現の誘導と制限の解明という２つの大きなテーマがある。 １次元表現からの「誘導」は等質空間上の大域解析と等価であり， 半世紀以上にわたって Gelfand，Harish-Chandra，大島利雄氏等により大きく発展してきた。 一方，「誘導」に較べて「制限」の理論は， テータ対応など特殊な事例を除き，未開拓のままであった。

筆者は1990年代に，ユニタリ表現の「制限」に関する種々の“悪い”現象を調べ， 逆に，“良い振舞いをする”クラスが意外にも豊富にあることを発見し， 離散的分岐則の理論を構築した（［d］）。 その後，この理論は， 新しい既約ユニタリ表現の構成（Gross, Wallach）や 組成列の研究などの表現論内部の道具としてだけでなく， 非対称等質空間上の L2 解析や モジュラー多様体の研究など周辺分野でも 応用が見出されつつある（［7, b］）。

さて，既約成分が高々一回しか現れない重複度１の表現は， 既約表現を一般化した概念である。 重複度１の表現の既約分解はcanonicalであるため， 道具としての表現論が特に効力を発揮する。 例えば，有用な展開定理（Taylor, Fourier, spherical, ...）や種々の関数等式を 支える代数構造には，（普通は意識せずとも）しばしば 重複度１の表現が潜んでいる。 現在，筆者は，複素多様体における可視的な作用という概念と無重複性の伝播という視点を導入し， 無限次元の場合および（組合せ論が絡む）有限次元の場合を同時に含む， 重複度１表現の統一的な理論をめざしている（［1,2］）。

２．非可換調和解析

保型形式の整数論に現れるWeil表現は，表現論の立場からは メタプレクティック群の最も小さいユニタリ表現（極小表現）として特徴付けられる。 一般の簡約リー群の極小表現は最高ウェイトをもたない （真空ベクトルが存在しない）ため，その構成自体がそれほど簡単ではない。 一方，極小表現は，他の既約表現の族から“孤立”しているが故に， 思いがけない数学的対象に登場する可能性も秘めている。 表現が小さいということは， 関数空間から見ると対称性が大きいことを意味する。 そこで筆者は，極小表現を解析・幾何的な手法で構成し， 数学の異分野に現れるモデルの中で 特別大きな対称性の構造を捉えようと試みた。

その一つの試みとして， 一般の擬リーマン多様体に対し， その Yamabe 作用素の大域解の空間に 共形変換群の表現を構成し， 特に， それが定曲率空間の場合には不定値直交群の 極小表現になることを証明した。 また，そのモデルに現れる ウルトラ双曲型偏微分方程式の 大域解の共形不変な保存量を発見した （この保存量は，極小表現の代数的理論から 内在的に存在していることが 予知され，ある場合には佐藤超関数のアイディアを 使って構成される）（Ørsted と共同［a］）。 さらに，Weil 表現の Schrödinger モデルを一般化し， Fourier-Hankel 変換, Hermite 半群を特別な場合として含む 極小表現の「裏返し変換」や複素半群への 解析接続の公式を具体的に決定した （真野元氏との共同［5］）。

３．非リーマン等質空間における不連続群

局所から大域への研究は， 20世紀の幾何学における大きな流れの一つであり， とりわけリーマン幾何学において著しい発展をとげた。 その一方で， それ以外の基礎的な幾何構造（擬リーマン，シンプレクティック，複素, ...）に対しては， 局所均質性を課した場合でさえ， その大域的な性質については驚くほど何も知られていない。

例えば計量が不定値の擬リーマン多様体においては 離散群の等長な作用が必ずしも真性不連続ではなく， リーマン多様体における古典的な不連続群論とは 著しく異なる現象（Calabi-Markus 現象など）が現れる。 筆者は，1980年代後半に， リーマン幾何の枠組を超えた等質空間の不連続群論に 世界で最初に本格的に取り組み， その基盤づくりに着手した。 特に，群構造を半分忘却することに よって不連続性の概念を一般化し， 不連続性の判定条件と双対定理を得, また，高次元の既約対称空間でも「剛性」が 成り立たず不連続群を連続変形できる現象を発見した。 非リーマン対称空間におけるコンパクトな Clifford-Klein 形の存在問題を A. Borel の追悼論文集（吉野太郎氏と共同［3］）に， 冪零変形の局所構造の一例を［4］に， この新しい領域の全体的な解説を［6］に， 未解決問題を［c］にそれぞれ著した。

参考文献

  1. Multiplicity-free theorems of the restrictions of unitary highest weight modules with respect to reductive symmetric pairs, to appear in Progr. Math., Birkhäuser.
  2. Multiplicity-free representations and visible actions on complex manifolds, Publ. RIMS 41 (2005), 497-549, Special Issue: Commemorating the fortieth anniversary of the founding of RIMS.
  3. Compact Clifford-Klein forms of symmetric spaces — revisited, Pure and Appl. Math. Quarterly 1 (2005), 603-684, Special Issue: In Memory of Armand Borel (with T. Yoshino).
  4. Deformation of properly discontinuous actions of Zk on Rk+1, to appear in Internat. J. Math. (Preprint RIMS 1536, March 2006) (with S. Nasrin).
  5. Integral formulas of the minimal representations of O(p,2), Acta Appl. Math. 86 (2005), 103-113 (with G. Mano).
  6. 非リーマン等質空間の不連続群について（論説），『数学』 57 (2005), 267-281 （英訳は ''On discontinuous group actions on non-Riemannian homogeneous spaces'' (Preprint RIMS 1537, March 2006), Amer. Math. Soc. より出版予定）
  7. Restrictions of Unitary Representations, In: Lie Theory: Unitary Representations and Compactifications of Symmetric Spaces (eds. J.-P. Anker and B. Ørsted) Progr. Math. 229, Birkhäuser (2005), 139-207 （European School およびハーバード大学での講義録）.
  8. リー群と表現論，岩波書店（2005），644頁（大島利雄氏との共著; 英訳が Springer から出版予定）．
［2004年以前からの引用］
  1. Analysis on minimal representations of O(p,q), Part I — Realization and conformal geometry, Adv. Math. 180 (2003), 486-512; Part II — Branching laws, Adv. Math. 180 (2003), 513-550; Part III — Ultra-hyperbolic equations on Rp-1,q-1, Adv. Math. 180 (2003), 551-595 (with B. Ørsted).
  2. Branching problems of unitary representations, Proc. I.C.M. 2002, Beijing, vol. II (2002), 615-627.
  3. Discontinuous groups for non-Riemannian homogeneous spaces, in Mathematics Unlimited — 2001 and Beyond (eds. B. Engquist and W. Schmid), Springer (2001), 723-748; 邦訳 “非リーマン等質空間の不連続群論” 『数学の最先端 21世紀への挑戦』第1巻 (2002), 18-73.
  4. Discrete decomposability of the restriction of Aq(λ) with respect to reductive subgroups, Part I, Invent. Math. 117 (1994), 181-205; Part II — micro-local analysis and asymptotic K-support, Ann. of Math. 147 (1998), 709-729; Part III — restriction of Harish-Chandra modules and associated varieties, Invent. Math. 131 (1998), 229-256.

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Updated: 4 July 2006

© Toshiyuki Kobayashi