東京無限可積分系セミナー （2002 年）

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• q-超幾何積分の留数とアフィンリー環の指標

  講演者: 中屋敷　厚（九州大学理数）
  日時: 2002年12月14日(土)1時00分 -- 2時30分
  場所: 東京大学 数理科学研究科 （駒場キャンパス） １１７号室
  要旨: sl_2に付随したq-超幾何型の積分を考えます. これはある種の多項 式を与えるごとに定まり、q-Knizhnik-Zamolodchikov方程式の解を 与えます. 可解模型に関係してある因子が定まりますが、その因 子での積分の留数がゼロになるような多項式の空間を考え、アフィ ンリー環の表現の指標との関係を議論します. このような問題は共 形場理論と有質量可積分場の理論との対応をつける問題から出てき ます.
  

• 三角型 Ruijsenaars-Schneider 可積分系について

  講演者: 大島 和幸（名古屋大学多元数理）
  日時: 2002年12月14日(土)3時00分 -- 4時30分
  場所: 東京大学 数理科学研究科 （駒場キャンパス） １１７号室
  要旨: Babelon, Bernard, Billey は文献 [BBB] の中で, U_q(sl_2) の準 ホップ構造から三角型 Ruijsenaars-Schneider 可積分系を得る方 法を述べています. このようにして得られた系の可積分性は "spin-shift operator" の存在によって示されます. 今回は以上の 内容の復習から始め, その U_q(sl_n) への一般化についてお話し したいと思います. [BBB] Babelon, Bernard, Billey: "A quasi Hopf algebra interpretation of quantum 3-j and 6-j symbols and difference equations" Phys. Lett. B 375 (1996) 89-97

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• 格子Toda場の理論と格子W代数の周辺

  講演者: 井上　玲(東京大学総合文化研究科)
  日時: 2002年11月16日(土)1時00分 -- 2時00分
  場所: 東京大学 数理科学研究科 （駒場キャンパス） １１７号室
  概要： Toda場方程式は、有名なソリトン系であるToda格子のLie環に付随した拡張の 一つで古典、量子系ともにさかんに研究されているモデルである。この方程式 の可換な保存量は W 代数の生成元で書かれ、例えば A_N 型の場合に登場する W_N 代数は N-reduced KP階層の対称性を記述することが知られている。Toda 場方程式の差分化については、特に g=A_1 の場合は格子Liouville方程式と呼 ばれ、格子Virasoro代数とともにFaddeev-Takhtajan によって構成された。
  本講演では、この差分化を任意の有限次元単純Lie環 g に付随した古典Toda 場方程式に拡張し、格子W代数とソリトン方程式の構成を考える。格子W代数の 生成元の構成方法は、 g=A_N の場合には幾つかあり結果としては同じものが 得られるが、一般の場合には適当な方法が明らかではない。ここでは、任意の g に格子 W 代数を拡張する際に重要であると思われる、格子Toda場とW代数の q 変形との関係について述べる。また、他の可解模型との関係についても考察 する。
  

• Spectral curves and parameterizations of a discrete integrable 3-dimensional model

  講演者: Stanislav Pakuliak (Joint Institute for Nuclear Research, Russia)
  日時: 2002年11月16日(土)2時15分 -- 3時15分
  場所: 東京大学 数理科学研究科 （駒場キャンパス） １１７号室
  Abstract: We consider a discrete classical integrable model on the 3-dimensional cubic lattice. The solutions of this model can be used to parameterize the Boltzmann weights of the different 3-dimensional spin models. We have found the general solution of this model constructed in terms of the theta-functions defined on an arbitrary compact algebraic curve. The imposing of the periodic boundary conditions fixes the algebraic curve. We have shown that in this case the curve coincides with the spectral one of the auxiliary linear problem. In the case when the curve is a rational one, the soliton solutions have been constructed.
  

• Bootstrap equations and XYZ correlation functions.

  講演者: 桑野泰宏（鈴鹿医療科学大学）
  日時: 2002年11月16日(土)3時30分 -- 4時30分
  場所: 東京大学 数理科学研究科 （駒場キャンパス） １１７号室

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• XXXスピン模型の自由エネルギーの導出する一つの方法

  講演者: 加藤 豪 （東大物理）
  日時: 7月13日(土)２時００分 -- ３時００分
  場所: 東京大学 数理科学研究科 （駒場キャンパス） １１７号室
  概要： 一次元量子可積分系の自由エネルギー Tr exp(-β H) を解析的に 導出する方法は、Suzuki-Trotter transformation を用いた量子転 送行列(QTM)法とString hypothesis を用いた熱力学的ベーテ仮説 (TBA)法が知られている。しかし、それぞれに解析的な答えを導出 するにあたって困難が存在する。というのも、 QTM法 においては QTM の最大固有値を導出する事が鍵となるが、この最大固有値を導 くためには、固有値を決定する擬運動量を決定するBethe方程式を 何らかの形で解く必要がある(例えば、最大固有値を与える擬運動 量から定義される関数のゼロ点が存在する Trotter number に依存 しない領域を決定する)。他方、 TBA法においては、系の固有値を 決定する Bethe方程式の解の位置が複素平面上において直線的であ る事が重要である。しかし有限のサイズの系においてはそのような 状況にはないために工夫が必要である。そこで、熱力学極限をこの 方程式の解の位置を決定するレベルで行う。この操作によって固有 値が複素平面上直線にのると考えられる。
  この様に今までの方法では "Bethe方程式を解く" という事が自由 エネルギーを導出するにあたって必要であった。しかし、熱力学極 限においてはBethe方程式は無限次元の非線形方程式であり、その 解を解析的に解く事ができないために様々な工夫によって間接的に "解いて"きた。しかし、その工夫の故に汎用性又は数学的厳密性な どなんらかの物を犠牲にしなければならなかった。そこで "Bethe 方程式を解かずに" 自由エネルギーを導出する事ができれば非常に 楽しいと思われる。 XXX-スピン系を例として、その様な方法の概 略を示したい。またその結果と TBA法との関係にも若干ふれたい。
  

• ＸＹＺ模型の固有値の縮退と sl_2 ループ代数

  講演者: 出口 哲生 (お茶の水女子大 物理)
  日時: 7月13日(土)３時３０分 -- ４時３０分
  場所: 東京大学 数理科学研究科 （駒場キャンパス） １１７号室
  概要： １次元の有限格子上のスピン系が無限次元の対称性を持つというこ とはまず考えにくいし、さらにその縮退次元が指数関数的に大きく なるということも普通は想像できないであろう。
  しかし文献[1] において、ＸＸＺ模型の異方性変数 Δ=(q+1/q)/2 の変数 q が１のべき根の場合にはそのような現象が実際に生じる ことが示された。ここで q^{2N}=1 および q≠1、格子の長さ L は 任意の場合に、ＸＸＺ鎖の転送行列(最も一般的な場合を含む)が周 期的境界条件下で sl_2 ループ代数の生成子と交換あるいは反交換 する。そして L/N が偶数のときには、縮退次元が 2^{L/N} となる 固有空間が存在する。本講演では、この結果を８頂点模型（ＸＹＺ 鎖）の場合に拡張する。これは１９７２年にバクスターが導いた縮 退固有ベクトルを含む一般の場合に対応する。そして縮退次元の公 式をある仮定の下に厳密に導く。最後に、物理的に興味深いと思わ れる観察をいくつか議論する。
  [1] T. Deguchi, K. Fabricius and B.M. McCoy, The sl_2 loop algebra symmetry of the six-vertex model at roots of unity, J. Stat. Phys. 102 (2001) 701-736.

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• Crystal base and quiver variety

  講演者: 斉藤義久（東大数理）
  日時: 6月15日(土)２時００分 -- ３時００分
  場所: 東京大学 数理科学研究科 （駒場キャンパス） １１７号室
  概要： We give a crystal structre on the set of all irreducible components of Lagrangian subvarieties of quiver varieties. As a crystal, it is isomorphic to the crystal base of an irreducible highest weight representation of a quantized universal enveloping algebra.
  

• On fusion product of finite dimensional modules and conformal coinvariants

  講演者: 神保道夫 (東大数理)
  日時: 6月15日(土)３時３０分 -- ４時３０分
  場所: 東京大学 数理科学研究科 （駒場キャンパス） １１７号室
  Abstract: The behavior of conformal blocks when the insertion poitns all collide has been a subject of intensive study (Feigin et al.), though the present knowledge is rather limited. We discuss here an equivalence between coinvariant spaces of highest weight modules and those of tensor products of finite dimensional modules. Using the latter description, we compute in the sl_2 case the Hilbert polynomials of coinvariant spaces, in terms of level-restricted Kostka polynomials. This talk is based on a joint work with B.Feigin, S.Loktev, R.Kedem and T.Miwa.

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• Haldane 系周辺のスピン模型群と電子系への拡張

  講演者: 山中　雅則（日大理工）
  日時: ５月１８日(土)２時００分 -- ３時００分
  場所: 東京大学 数理科学研究科 （駒場キャンパス） １１７号室
  概要：量子スピン模型の研究は、ハイゼンベルグ模型の提案にはじまる 歴史ある分野である。近年では Haldane 問題が盛んに議論された ことが記憶に新しい。本セミナーでは、この Haldane 問題に関係する スピン模型（XXZ 模型、Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki(AKLT)模型、 staggared-XXZ 模型、Ashkin-Teller 模型など）の基底状態の性質と 模型間の相互関係を中心に解説を行なう。また、AKLT 模型の可解性と 等価な数学的構造をもついくつかの可解電子模型の紹介を行なう。 そこでは厳密解の構成条件は、格子が埋め込まれる２次元多様体の 分類に帰着し、四色定理や Heawood の定理などのグラフ理論と直接 関係することを指摘する。
  

• On fusion of the vertex operators in RSOS models

  講演者: Yaroslav Pugai (東大数理)
  日時: ５月１８日(土)３時３０分 -- ４時３０分
  場所: 東京大学 数理科学研究科 （駒場キャンパス） １１７号室
  Abstract: The exact description of vertex operators appearing in the algebraic approach to the two dimensional integrable models of statistical mechanics leads to the integral representation for correlation functions / form-factors of these models. Our aim is to discuss the role of the fusion in this approach. We show that fused vertex operators carry important information on the vacuum expectation values of the (properly normalized) local operators in the scaling limit.

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• Correlation functions of the XXZ model and combinatorics

  講演者: Nikolai Kitanie(東大数理)
  日時: ４月２０日(土)２時００分 -- ３時００分
  場所: 東京大学 数理科学研究科 （駒場キャンパス） １１７号室
  Abstract: In this talk I give a brief description of a method of calculation of the correlation functions of the XXZ model, based on the algebraic Bethe ansatz. Using this method for a special case of the XXZ model with $\Delta=1/2$ one can calculate some correlation functions, such as emptiness formation probability, explicitely. It can be shown that this function can be expressed in terms of the corresponding number of alternating sign matrices.
  

• Noncommutative solitons and integrable systems

  講演者: 浜中 真志 (東大物理)
  日時: ４月２０日(土)３時３０分 -- ４時３０分
  場所: 東京大学 数理科学研究科 （駒場キャンパス） １１７号室
  For references and some of his papers, for example, "Exact BPS solitons in noncommutative gauge theories" "Recent developments in non-commutative gauge theories" are available here.

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• Generalized supersymmetry and quasi-exactly solvable quantum mechanical systems

  講演者: 佐々木隆（京大基研）
  日時: 2月13日(水) 1時30分 -- 2時30分
  場所: 東京大学 数理科学研究科 （駒場キャンパス） １１７号室
  

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• Smirnov-type integral for the bulk/boundary XXZ model in the anti-ferromagnetic regime.

  講演者: 桑野泰宏（鈴鹿医療科学大学）
  日時: 1月12日(土)1時00分 -- 2時00分
  場所: 東京大学 数理科学研究科 （駒場キャンパス） １１７号室
  要旨: Presented are the integral solutions to the quantum Knizhnik-Zamolodchikov equations for the correlation functions of both the bulk and boundary XXZ models in the anti-ferromagnetic regime. The difference equations can be derived from Smirnov-type master equations for correlation functions on the basis of the CTM bootstrap. Our integral solutions with an appropriate choice of the integral kernel reproduce the formulae previously obtained by using the bosonization of the vertex operators of the quantum affine algebra U_q (\hat sl_2).
  

• 量子 Inozemtsev 系の準可解性

  講演者: 高崎金久（京都大学総合人間）
  日時: 1月12日(土)2時30分 -- 3時30分
  場所: 東京大学 数理科学研究科 （駒場キャンパス） １１７号室
  

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