微積分

講義日程と内容

1. 4/8 逆3角関数 arcsin, arctan の定義， 関数の定義，逆関数が定義されるための条件， 例題 arcsin s + arcsin t = arcsin(s √(1-t^2)+t √(1-s^2))をみたす s,t の範囲を求めよ
2. 4/15 arcsin, arctanの関係と，導関数． 逆関数の微分． 例題 √(1-x^2)の不定積分を求めよ． 平均値の定理　と　最大値の定理，中間値の定理． 全称命題，存在命題とその順序、論理記号、写像の定義．
3. 4/22 微分方程式．ことばの定義，初期値問題． 変数分離形　例題　y'=1+y^2の初期値問題 y(0)=cを解け． 解の定義域も求めよ． 線形同次方程式　例題 (1+x)y'=ay (x>-1)を解け．
4. 4/29　休日
5. 5/2 (木) 2変数関数　定義，グラフ，連続性，等高線． 例題　2変数関数xyが連続であることを示せ．
6. 5/13 2変数関数の微分，接平面，等高線との関係，偏微分係数． 例題　2変数関数xyの(a,b,ab)での接平面を求めよ．
7. 5/20 勾配ベクトル、偏導関数、連続微分可能ならば微分可能、 合成関数の偏導関数． 例題　arcsin (y/¥sqrt (x^2+y^2))の偏導関数を求めよ．
8. 5/27 偏導関数の続き．合成関数の微分，連鎖律． 例題　偏導関数の合成関数f_x(r cos theta, r sin theta), f_y(r cos theta, r sin theta)を，合成関数 g(r,¥theta)=f(r cos theta, r sin theta)の 偏導関数で表せ．

1. 6/10 合成関数の微分の続き，平面内のパラメータつき曲線、 例題 f(x,y)=x^2-y^2, p(t)=cos t, q(t)=sin tのとき， 合成関数 f(p(t),q(t))の導関数を求めよ． 勾配ベクトルと接ベクトル、方向微分、空間の極座標．
2. 6/17 高次偏導関数の定義，例題１ g(r,¥theta)=r¥cos ¥thetaの2階偏導関数を求めよ． 偏微分の順序交換，
   例題2 f(r¥cos ¥theta, r¥sin ¥theta)=g(r,¥theta)とおく． f_{xx}(r¥cos ¥theta, r¥sin ¥theta)をg(r,¥theta)の2階までの偏導関数で表せ．
   2変数関数の極値の定義，2変数関数の極値の判定法，必要条件と十分条件．
3. 6/24 休講します
4. 7/1 極値判定法，峠点．例題　x^3+y^3-3xyの極値を求めよ．2次式の符号．凸関数．
5. 7/8 陰関数定理，f(x,y)=c <=> g(x). g'(x)=-f_x(x,y)/f_y(x,y). 例題 ¥sqrt{1-x^2}の導関数を求めよ．
   条件つき極値， 必要条件　Lagrange未定係数法 (h_x,h_y)=t(f_x,f_y)をみたすtの存在． 例題　原点を通らない直線上で原点からの距離が最小となる点は 原点から下ろした垂線の足であることを示せ．
6. 7/15 テイラーの定理，スモール o, ラグランジュの剰余項， 例題　eの値を小数点以下3桁まで求めよ． 積分型の剰余項，積分形の平均値の定理．
7. 7/22 巾級数展開　e^x, cos x, sin xの巾級数展開． 例題 tan xの巾級数展開を5次の項まで求めよ．
   補足　det(a b)=|a||b| sin theta.

1. 9/30 定積分　実数の完備性、優級数による収束判定法
2. 10/7 定積分の定義，リーマン和，一様連続．微積分の基本定理．
3. 10/14 休日
4. 10/21 例題　数列(a_n)をa_n=¥sum_{k=1}^n n/(n^2+k^2)で定める． 1. (a_n)はコーシー列であることを示せ． 2. 極限 lim_{n¥to ¥infty}a_nを求めよ．
   定積分の性質，加法性，正値性，線形性． 面積確定な有界閉集合，たて線集合， 面積の定義．
5. 10/28 たて線集合の面積．2変数関数の積分，リーマン和．
6. 11/4 休日
7. 11/7（木） 積分の例．¥int_{0¥leqq x¥leqq 1, 0¥leqq y¥leqq 1} ¥min(1-x, 1-y)dxdi =¥lim_{n¥to ¥infty}¥frac 1{n^3} ¥sum_{k=1}^nk^2.
   積分の性質．体積，線形性，加法性，正値性．
   逐次積分の公式．例題　逐次積分の公式を使って球の体積を求めよ．
8. 11/11 逐次積分の公式の続き．変数変換公式．
9. 11/13 （水）　変数変換公式の続き．平面の写像の図示，ヤコビアンと面積の拡大率，極座標． 例題　原点を中心とする半径が1の球と， (1/2,0,0)を通りz軸と平行な直線を軸とし底面の半径が1/2の直円柱の 共通部分の体積を求めよ． （答えは2¥pi/3-8/9のようです）
10. 11/18 変数変換公式の続き，例題¥int_{y¥geqq 0, 0¥leqq x¥leqq 1-y^2/4} xdxdyを求めよ．広義積分の定義と例，収束の比較判定法．
11. 11/25 駒場祭かたづけ
12. 12/2 ガウス積分，広義積分と級数の収束． 例題 k¥geqq 2を自然数とする．¥sum_{n=1}^¥infty 1/n^kが収束することを 示し，不等式 1+1/(k-1)2^{k-1} ¥leqq ¥sum_{n=1}^¥infty 1/n^k ¥leqq 1+1/(k-1)を示せ． ベータ関数とガンマ関数．
13. 12/9 巾級数の収束，収束半径．
14. 12/16 巾級数の項別微積分，巾級数展開の例 (1+x)^a． 例題　log(1+x), arctan x, 1/\sqrt{1-x}, arcsin x.
15. 12/23 不定積分の計算． 有理関数，2次式の平方根を含む関数， ３角関数を含む関数の積分． 例題1 \int \sqrt{1+x^2}dxを求めよ． 例題2 \int \sqrt{1-x^2}dxを求めよ． 例題3 \int \tan xdxを求めよ． 項別微分の証明の残り．
16. 1/6 休講します