2012年度数理科学Ⅰ（松尾担当）

随時更新 2010年度数理科学Ⅰ 2013年度数理科学Ⅰ

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この講義の期末試験は次の要領で実施されます。
日時： 7月24日（火）第２限 (10:55－12:25)
場所： 104教室
備考：持ち込み不可
連絡事項
- 全般的な注意
  - 遅刻厳禁・私語厳禁です。
  - 大人数に対するレポート等の返却を、個人のプライバシーに配慮しつつ、混乱なく速やかに行うために、名前を呼ばれたら、大きく手を挙げて、大きな声で『はい』と返事してアピールしてください。
- 7月17日
  - 期末試験の範囲は授業で扱った内容です。健闘を祈ります。
- 6月20日
  - 単純な計算問題については、学生が解答を見て答えあわせをすることが可能です。しかし、記述式の問題の場合には、解法が種々あり得るうえ、記述の仕方は人によって千差万別ですから、実際のところ、模範解答を見ても答えあわせにならない場合がほとんどでしょう。そこで、私の講義では、一部の問題をレポート課題とし、提出されたレポートを教員やＴＡが添削して返却することによって答えあわせに代えるものとしていました。
  - しかしながら、今回のレポートの提出は非常に少なかったので、ほとんどの諸君は、もはや添削指導を必要としていないのだと解釈することにしたいと思います。
  - なお、単純な計算問題であっても、解答に頼るのではなく、自分の得た答が本当に正しいのかどうか、検算したり定義を再確認したり別の方法を試したり、多角的に取り組んで自分で確信にいたるように心がけることが非常に大切です。
- 6月13日
  - 理学部数学科に進学する学生など一部の学生を除けば、ほとんどの皆さんにとって今学期が「数学を専門とする教員から数学を学ぶ」最後のチャンスです。従って、今学期のうちに「自力で数学を学ぶスキル」を出来る限り向上させておかなければなりません。それには、自分で出した解答が正しいのかどうか自分で判断できるように学ぶ必要があります。このことを念頭において演習問題などに取り組むことを薦めます。

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科目概要
- この授業は２年生の理科１類２５組～３１組を対象とする微分積分学続論の講義です。
- この講義は、火曜日の２限（１０：４０～１２：１０）に教養学部５１４教室で行います。
- この講義は数理科学Ⅰのシラバス（下に転載）に基づいて行います。
- この講義の参考書として次の書籍をあげておきます。
  - 小林昭七「続微分積分読本 – 多変数 – 」裳華房
  - 小沢哲也「曲線幾何学の小径」培風館
講義予定
講義の進行によっては、予定を変更する可能性があります。
1. ~~2012/04/10 （火）~~ 講義内容の紹介・陰関数の分枝
2. ~~2012/04/17 （火）~~ 陰関数の分枝の存在と一意性
3. ~~2012/04/24 （火）~~ 陰関数の分枝の微分可能性
4. ~~2012/05/08 （火）~~ 速度ベクトルと加速度ベクトルの変換則
5. ~~2012/05/15 （火）~~ 弧長パラメータと平面曲線の曲率
6. ~~2012/05/22 （火）~~ 曲線の接ベクトルと勾配ベクトル
7. ~~2012/05/29 （火）~~ 曲線上の関数の微分法
8. ~~2012/06/05 （火）~~ 未定乗数法
9. ~~2012/06/12 （火）~~ 未定乗数法（続）
10. ~~2012/06/19 （火）~~ ベクトル場と微分形式
11. ~~2012/06/26 （火）~~ 微分2-形式とその積分
12. ~~2012/07/03 （火）~~ 微分形式の線積分
13. ~~2012/07/10 （火）~~ グリーンの公式
14. 2012/07/17 （火）教養学部補講日（この授業の補講はありません）
15. 2012/07/24 （火）期末試験

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シラバス
数理科学Ⅰのシラバスを転載しますので、参照してください。なお、この授業の内容は数理科学Ⅲとも関係が深いので、そちらのシラバスも転載しておきます。
- 数理科学Ⅰシラバス
  
  数学Ⅰで学んだ多変数の微積分の補足として２変数のベクトル値関数を取り上げ，その取り扱い方法と幾何学的・物理的意味を学ぶ．３変数あるいはより多くの変数を扱う方法については，数理科学Ⅲで学習する．数学や物理など数学を本格的に使う分野，あるいは電磁気学・流体を扱う分野に将来進む場合は，数理科学Ⅲを併せて履修しておくことが望ましい．
  1. 陰関数定理と逆関数定理：関係式f(x,y)=0によって結ばれた２つの変数x,yがあったとき，yをxの関数（関数fによって表される陰関数）として表せるための条件を考察する．また変数変換とその応用について学ぶ．
  2. 平面曲線の幾何：１で学習したことに基づき，方程式f(x,y)=0が定める曲線のパラメータ表示，接ベクトルと法ベクトル，曲率，弧長などの求め方を考える．
  3. 平面上のベクトル場と線積分：ベクトル場の概念を説明し，関数が定める勾配ベクトル場などの基本的例とその意味を考える．また平面のベクトル場（またはベクトル場に対応する微分１形式）の曲線上の積分（線積分）を調べる．
  4. 条件付き最大最小問題：f(x,y)=0という拘束条件を受けている変数x,yの関数g(x,y)について，その極大・極小を求めるラグランジュの未定乗数法を学び，幾何学的意味を考察する．
  5. 面積分：空間内の曲面を２つのパラメータによって表し，曲面上の積分によって面積などを表すことを学ぶ．重積分に関する変数変換公式を完全にマスターすることが重要である．
  6. グリーンの定理とガウスの定理：平面の中の閉曲線上での線積分を曲線が囲む領域での面積分に帰着するグリーンの定理とガウスの定理を学び，平面ベクトル場の回転と発散の意味を考察する
- 数理科学Ⅲシラバス（参考）
  
  空間や空間内の図形上の解析を中心に，多変数のベクトル値関数の取り扱いを学ぶ．数学Ⅰで学んだ内容の発展であるがより幾何学的である．高次元の幾何学，相対性理論，場の理論，電磁気学，流体力学などを本格的に勉強する際には必要となる科目である．
  1. 陰関数と逆関数：関数による関係式f(x₁,…,x_n)=0があれば，適当な状況下では一つの座標を他の座標の関数として表現できること（陰関数定理）を学ぶ．また陰関数の微分と関係式の偏微分との関係を考察する．陰関数定理とその延長である逆関数定理を用いて，いくつかの関数の零点として表される図形（部分多様体）のパラメータ表示を考察する．このようなパラメータ表示の応用として，ラグランジュの未定乗数法にも触れる．
  2. 接ベクトルと接空間：空間図形の接ベクトルの意味をさまざまな角度（図形上の曲線に沿った速度ベクトル，方向微分，一次の微分作用素）から考察し，接ベクトル全体がつくるベクトル空間として接空間の概念を導入する．
  3. ベクトル場：接ベクトルの空間分布であるベクトル場とベクトル場の力学的意味づけ（フロー）について簡単に解説する．関数から決まる勾配ベクトル場などの基本例にも触れる．
  4. 微分形式とその積分：多重積分の計算と変数変換則を復習し，このような変換則と調和する概念としての微分形式と，その積分（線積分・面積分・体積分）を学ぶ．多重積分を形式化することによって実際の計算が簡易化することを体験する．
  5. ストークスの定理：面積分と線積分，体積分と面積分を結ぶ公式であるストークスの定理と，その特殊ケースとしてグリーンの定理,ガウスの定理を学ぶ．この二つの定理によってベクトル場の発散や回転の流体力学的意味付けを理解する．

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過去の連絡事項
- ４月１０日
  - 言うまでもないことですが、一年生のときに数学ⅠＡを履修していても数学ⅠＢを履修していても問題なく理解できるように説明します。もし理解できない部分があれば、授業中に遠慮なく指摘してください。
- 5月8日
  - 演習問題１を配布し，出席者に対してレポート課題を出しました。提出されたレポートは添削して返却します。レポートの評価ならびに提出実績は成績には反映しません。出席していないものはレポートを提出することができません。
- 5月22日
  - 演習問題２を配布しました。
  - 問題2.3について，間違いではありませんが，無駄な煩雑さを避けるため，次のように修正してください。
    極限値 lim_h→0 | sin θ(h) |/ l (h) を計算せよ。
- 5月29日
  - 今日の授業の最後に述べた命題は，条件が不足していましたので，来週やり直します。どうもすみません。
  - 5月8日出題のレポートを添削して返却しました。出席していてレポートを出していない人は，来週提出することができます。レポートの評価ならびに提出実績は成績には反映しません。出席していないものはレポートを提出することができません。
- 6月 5日
  - 訂正：関数Ｌ（ｘ，ｙ，λ）を次のように修正してください。
    Ｌ（ｘ，ｙ，λ）＝ｆ（ｘ，ｙ） - λ（ｈ（ｘ，ｙ）－ｃ）
- 6月12日
  - 出席者に対してレポート課題を出しました。提出されたレポートは添削して返却します。レポートの評価ならびに提出実績は成績には反映しません。出席していないものはレポートを提出することができません。

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