2010年度数理科学Ⅰ（松尾担当）

随時更新 2012年度数理科学Ⅰ

連絡事項

科目概要
- この講義は２年生の理科１類１９組～２５組を対象とする微分積分学続論の講義です。
- この講義は火曜日の２限（１０：４０～１２：１０）に教養学部１３１１教室で行われます。
- この講義の参考書として次の書籍をあげておきます。
  
  小林昭七「続微分積分読本 – 多変数 – 」裳華房
確認事項
- 遅刻厳禁・私語厳禁です。
- 大人数に対するレポート等の返却を、個人のプライバシーに配慮しつつ、混乱なく速やかに行うために、名前を呼ばれたら、大きく手を挙げて、大きな声で『はい』と返事してアピールしてください。

講義予定
1. ~~2010/04/13 （火）~~ 講義内容の紹介（曲線のパラメータ表示、陰関数定理、グリーンの定理）
2. ~~2010/04/20 （火）~~ 開集合の復習、陰関数定理の紹介
3. ~~2010/04/27 （火）~~ 陰関数の分枝の存在と一意性、陰関数の分枝の連続性
4. ~~2010/05/11 （火）~~ 陰関数定理の証明
5. ~~2010/05/18 （火）~~ 曲線上の関数の連続性と微分可能性
6. ~~2010/05/25 （火）~~ 条件付き最大最小問題
7. ~~2010/06/01 （火）~~ Lagrange の未定乗数法、有界な閉集合の性質の復習
8. ~~2010/06/08 （火）~~ 曲線の接ベクトル
9. ~~2010/06/15 （火）~~ 曲線の曲率
10. ~~2010/06/22 （火）~~ 平面上のベクトル場
11. ~~2010/06/29 （火）~~ 微分形式の構成
12. ~~2010/07/06 （火）~~ 微分形式の積分
13. ~~2010/07/13 （火）~~ グリーンの定理
14. ~~2010/07/20 （火）~~ 期末試験

授業内容
この授業は、数理科学Ⅰのシラバスに基づいて行います。数理科学Ⅰのシラバスを下に転載しますので、参照してください。なお、この授業の内容は数理科学Ⅲとも関係が深いので、そちらのシラバスも下に転載しておきます。

数理科学Ⅰシラバス

数学Ⅰで学んだ多変数の微積分の補足として２変数のベクトル値関数を取り上げ，その取り扱い方法と幾何学的・物理的意味を学ぶ．３変数あるいはより多くの変数を扱う方法については，数理科学Ⅲで学習する．数学や物理など数学を本格的に使う分野，あるいは電磁気学・流体を扱う分野に将来進む場合は，数理科学Ⅲを併せて履修しておくことが望ましい．
1. 陰関数定理と逆関数定理：関係式f(x,y)=0によって結ばれた２つの変数x,yがあったとき，yをxの関数（関数fによって表される陰関数）として表せるための条件を考察する．また変数変換とその応用について学ぶ．
2. 平面曲線の幾何：１で学習したことに基づき，方程式f(x,y)=0が定める曲線のパラメータ表示，接ベクトルと法ベクトル，曲率，弧長などの求め方を考える．
3. 平面上のベクトル場と線積分：ベクトル場の概念を説明し，関数が定める勾配ベクトル場などの基本的例とその意味を考える．また平面のベクトル場（またはベクトル場に対応する微分１形式）の曲線上の積分（線積分）を調べる．
4. 条件付き最大最小問題：f(x,y)=0という拘束条件を受けている変数x,yの関数g(x,y)について，その極大・極小を求めるラグランジュの未定乗数法を学び，幾何学的意味を考察する．
5. 面積分：空間内の曲面を２つのパラメータによって表し，曲面上の積分によって面積などを表すことを学ぶ．重積分に関する変数変換公式を完全にマスターすることが重要である．
6. グリーンの定理とガウスの定理：平面の中の閉曲線上での線積分を曲線が囲む領域での面積分に帰着するグリーンの定理とガウスの定理を学び，平面ベクトル場の回転と発散の意味を考察する
参考：数理科学Ⅲシラバス

空間や空間内の図形上の解析を中心に，多変数のベクトル値関数の取り扱いを学ぶ．数学Ⅰで学んだ内容の発展であるがより幾何学的である．高次元の幾何学，相対性理論，場の理論，電磁気学，流体力学などを本格的に勉強する際には必要となる科目である．
1. 陰関数と逆関数：関数による関係式f(x₁,…,x_n)=0があれば，適当な状況下では一つの座標を他の座標の関数として表現できること（陰関数定理）を学ぶ．また陰関数の微分と関係式の偏微分との関係を考察する．陰関数定理とその延長である逆関数定理を用いて，いくつかの関数の零点として表される図形（部分多様体）のパラメータ表示を考察する．このようなパラメータ表示の応用として，ラグランジュの未定乗数法にも触れる．
2. 接ベクトルと接空間：空間図形の接ベクトルの意味をさまざまな角度（図形上の曲線に沿った速度ベクトル，方向微分，一次の微分作用素）から考察し，接ベクトル全体がつくるベクトル空間として接空間の概念を導入する．
3. ベクトル場：接ベクトルの空間分布であるベクトル場とベクトル場の力学的意味づけ（フロー）について簡単に解説する．関数から決まる勾配ベクトル場などの基本例にも触れる．
4. 微分形式とその積分：多重積分の計算と変数変換則を復習し，このような変換則と調和する概念としての微分形式と，その積分（線積分・面積分・体積分）を学ぶ．多重積分を形式化することによって実際の計算が簡易化することを体験する．
5. ストークスの定理：面積分と線積分，体積分と面積分を結ぶ公式であるストークスの定理と，その特殊ケースとしてグリーンの定理,ガウスの定理を学ぶ．この二つの定理によってベクトル場の発散や回転の流体力学的意味付けを理解する．

過去の連絡事項
- 4月8日
  参考書「続微分積分読本」第４頁の (1.5) の二行目は、後半に括弧をつけてください。
  |f(x,y)-f(a,b)|<ε, (|x-a|<δ, |y-b|<δ)
  最初のコンマ「, 」は「ただし・・・のとき」の意味であり, 括弧内のコンマ「, 」は「かつ」の意味にとります。ほかにも「続微分積分読本」には同様に解釈すべき個所があります。例えば, 第29頁などがそうです。
- 4月27日
  本日の授業内容ですが、補題３で「関数 f は連続」という仮定を入れるのを忘れましたので、追加してください。
- 6月 9日
  昨日の授業で説明の誤りがありましたので、訂正してください。
  法線ベクトル（ｇ′（ａ）, －１）を上向きに図示しましたが、正しくは下向きです。この場合、方向ベクトルを回転する向きは時計回りに９０度となります。
- 6月 6日
  前回（６月１日）の授業の後半で板書の書き誤りがありましたので、訂正してください。
  ⇔ Ｆ⊂Ｒ^m が~~開集合~~閉集合ならば f^-1(F)⊂Ｒⁿ も閉集合である
  なお、板書の書き誤りに気づいたら、授業終了後に報告に来るのではなく、その場で指摘してもらえると皆が助かるでしょう。
- 7月27日
  期末試験の採点を終えました。よくみられた間違いを挙げます。
  - 問題２で、単位法線ベクトル n を求める際に、ベクトルの大きさを１に取ることを忘れて計算し、答が 1/2 になってしまったものが見られました。また、この問題では曲線上の点 (x,y) での曲率を求められており、実際に曲率は y で表すことができるので、そのように答えるべきであるにも関わらず、パラメータ t で表す式を求めたものの、y で表す式に直していないものが多く見られました。
  - 問題３で原点が曲線 f(x,y)=0 の特異点であることを見逃しているものが見られました。また、g(x,y)-λf(x,y) を考えるべきところ、f(x,y)-λg(x,y) を考えているものも見られました。この問題では、f(x,y)-λg(x,y) を用いて計算しても結果的には正解に到達しますが、それは g(x,y) の停留点が f(x,y)=0 の特異点になっているという特別な事情によるので、いつでもうまくいくわけではありません。
  - 問題４(1)では θ によるパラメータ表示を求められているので、曲線上の点 (x,y) の成分 x と y をそれぞれ θ で表す式を答えるべきであるにも関わらず、r と θ に関する方程式 r² = cos θ を答えているものが多く見られました。また、θ の動く範囲を安直に 0≦θ≦2π としているものも見られました。曲線上の点 (x,y) は 0≦x を満たしており、θ の範囲は例えば－π/2≦θ≦π/2 とするのが適切です。
- 7月28日
  期末試験に関するコメントを追加します。
  - 問題３は、X=x², Y=y² とおくことにより、未定乗数法を用いずとも、高校レベルの図形的考察と比較的簡単な計算で解くことができます。もちろん、問題文で未定乗数法を用いるよう指示されているので、この方法で答えるわけにはいきませんが、こうして得た答と比較することにより、未定乗数法で得た答が正しいかどうか確認することができます。