| 東京大学 | 大学院数理科学研究科 |

下記の要領でサマースクールを開催します.チュートリアル形式の講義ですので,非専門家や若手/学生を含む,多くの方々のご参加を歓迎します.
微分方程式の専門家で確率解析をこれから学ぼうとしている方々,また,確率解析の専門家で,微分方程式の研究者と交流を深めていきたいと考えている方々も是非ご参加ください.
世話人代表  俣野 博
日程: 2012年6月16日(土)午後〜18日(月)午前
場所: 東京大学大学院数理科学研究科棟002教室 (京王井の頭線駒場東大前駅よりすぐ)
講師(敬称略,講演順):
  1. 舟木 直久 (東京大学)
  2. 乙部 厳己 (信州大学)
  3. James Nolen (デューク大学)
  4. Leonid Ryzhik (スタンフォード大学)
  5. Gregoire Nadin (CNRS / Paris 6)
プログラム:
6/16(土) 6/17(日) 6/18(月)
  9:45-11:30Nolen (1) 9:45-10:45Nolen (2)
11:30-11:45討論 11:00-12:00Ryzhik (2)
  12:00-12:30討論
13:00-13:10俣野(趣旨説明) 13:00-14:45Ryzhik (1)  
13:15-14:45舟木 14:45-15:00討論
15:00-17:00乙部 15:15-17:15Nadin
17:00-17:30討論 17:15-17:30討論

1. 舟木 直久 氏:「微分方程式における確率解析の視点」

要旨: この講演では,確率論の基礎的な概念や用語を簡単にまとめた上で,ランダムな項を持つ偏微分方程式の研究において重要な役割を果たす確率場の定常性とエルゴード性について解説する.その後ブラウン運動を導入し,いくつかの例を与える.

2. 乙部 厳己 氏:「関数解析的視点による確率(偏)微分方程式」

要旨: 通常,確率論の基礎理論は,抽象的な確率空間の上で述べられるが,むしろ,それらを連続関数の空間上に測度を構成する問題,あるいは(非線形)汎関数の構成という解析学上の問題としてとらえた方が,直観的・具体的でわかりやすいことも多い.この講演では,確率論に関する何らの予備知識も仮定せずに,上の立場から確率微分方程式を特徴付ける.とくに以下のテーマに重点を置く.
(1) 線形の2階放物型方程式との関係
(2) これを常微分方程式に雑音を加えたモデルという立場でとらえると,例えば非線形項がヘルダー連続でしかない常微分方程式に一意性が回復するなど,粘性消去の考え方が自然に表れることへの注意
(3) (主に放物型の)方程式に雑音項を加える,いわゆる確率偏微分方程式の定式化について簡単に紹介し,雑音効果による一意性の回復の問題や解の爆発の消滅などについても触れる.

3. James Nolen 氏:「ランダム項をもつ偏微分方程式の解のゆらぎ」
  "Fluctuation of solutions to PDEs with random coefficients"

要旨: For PDEs with random coefficients, it is interesting to understand whether the solutions exhibit some universal statistical behavior that is independent of the details of the coefficients. In particular, how do solutions fluctuate around the mean behavior? We will discuss this issue in the context of three examples:
(1) Traveling fronts in random media in one dimension.
(2) Elliptic homogenization problems.
(3) Random Hamilton-Jacobi equations.
The relation between PDE tools and probabilistic ideas will be explained.

4. Leonid Ryzhik 氏:「粒子系とPDEにおける弱結合極限」
  "Weak coupling limits for particles and PDEs"

要旨: Weak random fluctuations in medium parameters may lead to a non-trivial effect after large times and propagation over long distances. We will consider several examples when the large time limit can be treated:
(1) a particle in a weakly random velocity field.
(2) weak random fluctuations of Hamilton equations, and
(3) the linear Scrhoedinger equation with a weak random potential.
The role of long range correlation of the random fluctuations will also be discussed.

5. Gregoire Nadin 氏:「空間非一様なFisher-KPP方程式の波面の漸近速度」
  "Asymptotic spreading for heterogeneous Fisher-KPP reaction-diffusion equations"

要旨: The solutions of the heterogeneous Fisher-KPP equation associated with compactly supported initial data are known to take off from the unstable steady state 0 and to converge to the steady state 1 for large times. The aim of this lecture is to estimate the speed at which the interface between 0 and 1 spreads.
Using the new notion of generalized principal eigenvalues for non-compact elliptic operators, we will derive such estimates which will be proved to be optimal for several classes of heterogeneities such as periodic, almost periodic or random stationary ergodic ones.

世話人: 俣野 博(代表),舟木 直久,Leonid Ryzhik
問い合わせ先: matanoms.u-tokyo.ac.jp
*) 会場へのアクセスは, http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/access/index.html にてご確認ください.

Graduate School of Mathematical Sciences, The University of Tokyo