研究内容紹介

９８年７月に（当時私が在籍していた）北海道大学大学院理学研究科数学専攻の外部評価がありました。その際、「高校生でも分かるような研究内容紹介を」ということで書いたのがこの文章です。前半部分は大学１年生位を意識して書きました。

複素解析的トポロジー

complex analytic topology

河澄響矢

図形を調べるという人間の営み（つまり幾何学）の中で、その図形は閉じているか？穴は何個開いているか？どのように絡み合っているか？といった問題は最も基本的なものといえるでしょう。これらの性質は、図形を切り開いたり融合させたりしない限り、連続的に変形していっても変わることはありません。図形のもつ、このような柔らかい性質を調べる学問こそがトポロジー（位相幾何学）であると言ってよいと思います。

トポロジーは函数を調べるときにも重要な役割を果たします。まず簡単な微積分の問題を考えて見ます。すべての実数 x について二つの関係式

f'(x) = 1 および f(x + 1) = f(x)

をみたす函数 f(x) を求めてみましょう。答えは「解なし」つまり「存在しない」です。実際、もしそのような函数 f があると仮定すれば x = 0 から x = 1 まで f'(x) を積分すると右側の式からは f(1) - f(0) = 0 となるはずですが、左側の式からは 1 でなければならず 0 = 1 となってしまうからです。
数直線から 0 以上 1 以下の部分を切り取り、 0 と 1 を貼り合わせて円周を作ってみます。右側の式をみたす函数はこの円周の上の函数と考えることができます。「円周上では定数函数 1 の原始函数は存在しない」ということが、いまの考察の結論です。数直線の上では連続な函数ならいつでも原始函数がとれるのに、円周の上では定数函数 1 ですら原始函数をもたないのです。この違いはどこからくるのでしょうか？「円周には穴があるが数直線には穴が無いためである」というのがトポロジーの立場からの解答です。
たとえばオイラーの公式 exp (x + iy) = (exp x) (cos y + i sin y )　などご存じかもしれません。このように三角函数などの性格の素直な函数の深い性質をしらべるには複素変数の函数と考えるとよいのです。複素変数の函数には実数変数の函数に比べて沢山の面白い性質があります。それだけ融通の利かない固い函数とも言えます。これを研究するのが複素解析です。トポロジーの重要な起源の一つは、複素変数の函数の原始函数の研究にあります。

「複素解析を積極的に使ってトポロジー固有の問題を研究したい」というのが私の研究の中心主題です。読者は「なぁんだ。そんなことか。当り前じゃん。」と思われたことでしょう。１００年前ならまったく当り前のことですし、現代の複素解析幾何学でもまっとうな研究者ならどなたでも自覚しておられることだと思います。ところが、現在のトポロジー研究の中ではどうでしょうか？微分トポロジー、代数的トポロジー、幾何的トポロジー、シンプレクティック・トポロジーなどいろいろなトポロジーがあり多くの研究者が多様かつ重要な研究を行なっています。それらにくらべて「複素解析的トポロジー（complex analytic topology )」などという分野は存在しません。今世紀のトポロジーの輝かしい歴史のかげにかくれているように見受けられます。「複素解析的トポロジー」などということを言えば常識的なトポロジストに鼻で笑われます。複素解析函数のような固いものが、柔らかいトポロジーと相性が良いわけがない、木に竹を継ぐようなものさ！と言う訳です。
彼等の感想には一理も二理もあります。ド＝ラム・コホモロジー論からアティヤー・シンガー指数定理にいたる抽象理論については今世紀全体に渉って複素解析とトポロジー双方を睨んだ多くの重要な研究が行なわれてきましたが、具体的な対象について、複素解析とトポロジーを融合させる研究はなかなか難しいのです。４次元多様体のゲージ理論による研究は、数理物理を媒介として複素解析幾何とトポロジーの融合を目指すものと言えるかもしれません。しかし、そこで得られている結果は高い次元での複素解析とトポロジーの融合の深さを予想させると同時に研究の難しさを示唆しているように見受けられます。

私が考えるのは、複素変数が一個しかない函数に対応するリーマン面という一番簡単な対象です。この場合は普通の研究者が素手でとりつける程度には簡単になります。もちろん、個々のリーマン面の研究は前世紀以来の積み重ねがあり、トポロジーの立場からは研究の余地が少ないのですが、リーマン面を全部あつめた（リーマン面の変形のパラメーターをすべて掻き集めた）リーマン面のモジュライ空間のトポロジーについては、重要な課題が山積しています。これは曲面バンドルというトポロジー固有の対象を研究することと等価になっています。「複素解析的トポロジー」の活動するべき重要な場所がここにあります。私は大学院修士課程在学中から今日まで一貫してこのリーマン面のモジュライ空間のトポロジーを調べてきました。

まず問題になるのは、このモジュライ空間の「穴のあきかた」でしょう。「穴」のことをコホモロジー類、それら全部をあつめたものをコホモロジー群またはコホモロジー環といいます。リーマン面のモジュライ空間の大事なコホモロジー類として、森田茂之と D. マンフォードが独立に発見した森田・マンフォード類があります。ベクトル空間についてのモジュライ空間というべきグラスマン多様体はこれまで様々な重要な研究がなされてきました。これをお手本にしながら複素解析を使って研究するというのが私の戦略です。

私のこれまでの研究業績の中心は、主に微分トポロジーにおいて研究されてきたゲルファント・フックス・コホモロジーを複素一変数の場合に再構成し、それをつかってリーマン面のモジュライ空間のコホモロジー類の局所理論を展開したことにあります。ある種のフロベニウス相互律の仮定のもとで（飾り付き）リーマン面のモジュライ空間の同変 (p, p)-コホモロジー環が森田・マンフォード類の生成する多項式環に一致することを証明しました。要するに、ある自然な仮定をおくと、モジュライ空間の基本的な場所にあるコホモロジー類のうち性質の素直なものは森田・マンフォード類しかないと言う訳です。
重要な未解決問題として「リーマン面のモジュライ空間の安定コホモロジー環は森田・マンフォード類で生成されるか？」というものがありますが、この結果はその問題の肯定的状況証拠を与えるものです。

ゲルファント・フックス・コホモロジーを使った研究は直線束という情報を付け加えたリーマン面のモジュライ空間にも拡張できます。その過程で森田・マンフォード類をねじれ係数に一般化した「一般森田・マンフォード類」を発見しました。 E. ロイエンハのアイディアと組合せるとリーマン面のモジュライ空間の斜交的ねじれ係数安定コホモロジー群と自明係数安定コホモロジー環の違いは一般森田・マンフォード類で尽きていることがわかります。大事な応用として、森田茂之氏との共同研究で第 (0, 3)-一般森田・マンフォード類が森田氏の拡大ジョンソン準同型の -6 倍になり、結果としてリーマン面のモジュライ空間の安定コホモロジー環の「第一近似」が非安定的にも森田・マンフォード類で生成されることが分かりました。これも上に述べた未解決問題の強い肯定的状況証拠になっています。

一般森田・マンフォード類の一部は自由群の自己同型群においても定義され、重要な役割を果たすようです。また、一般森田・マンフォード類を、その複素解析的起源にさかのぼって微分形式として表示する研究を行なっています。９７年１１月現在、数論幾何学のアラケロフ計量との関係が見えてきましたが、まだ決定的な段階に到っていません。
修士課程在学中、私とリーマン面との最初の出会いは超楕円曲線にありました。研究は今日でも続いています。９４年（公刊９７年）には超楕円写像類群の大きい標数の体を係数とするコホモロジーの新しい計算法を発見しました。

以上が私の研究の目指すところとこれまでの研究の実情です。両者の落差はまだ大きいですが、リーマン面と約１０年つきあってきて、ようやくお互いに話が通じる様になってきたように感じています。しかし、モジュライ空間と気持ちを通じることはまだまだできません。モジュライ空間と腹を割った話しが出来ることを目標に研究を続けていきたいと思います。そうして初めて「複素解析的トポロジー」という専門分野が私の中で確立するのだろうと考えています。

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