数学解析 予定表

ルベーグ積分の知識があるのが望ましいが、 以下の$\ast$の項目は、ルベーグ積分を知っておくのが よい項目、$\ast\ast$の項目は理解にルベーグ積分の知識が 必要な項目です。

0. なぜ、関数解析が必要か?

1. 位相の復習

距離空間, 開集合, 閉集合, 位相の強弱, コンパクト性, 完備性, etc.

2. ノルム空間

(1)

ノルムの定義

(2)

$^{\ast}$ Holderの不等式、Minkowskiの不等式

(3)

$^{\ast}$ l^p, L^p

(4)

ノルム空間の位相

(5)

可分性

(6)

Weierstrassの多項式近似定理(確率論を用いたBernsteinの証明)

(7)

Banach空間の定義、例

(8)

ノルム空間の完備化 ( ${\mathbb Q}$の完備化から ${\mathbb R}$を作ったように、 完備でないノルム空間は適当に元を加えて完備な空間にできる。 $C([0,1]\to {\mathbb R})$をL^pの位相でこの 方法で完備化したものの具体的な表現が $L^p({\mathbb R})$だと言える)

3. ヒルベルト空間

(1)

プレヒルベルト空間： 定義と例

(2)

$^{\ast}$ ヒルベルト空間の定義, 例、l², L²

(3)

完全正規直交系(=CONS)とその性質

(4)

CONS, 例、Fourier級数、Hermite多項式 固有関数の視点、対称行列の異なる固有値に対応する固有ベクトルは 直交すること。

(5)

Parsevalの等式、Besselの不等式

(6)

CONSの存在

(7)

直交射影、凸集合の場合への拡張を注意

(8)

直交補空間

(9)

$^{\ast\ast}$ 条件つき平均値、マルチンゲールの定義と直交射影との関連

5. 有界線形作用素

(1)

定義と性質

(2)

有界線形作用素全体が作用素ノルムでBanach空間になること

(3)

有界線形作用素の例 (合成積による作用素、ハウスドルフ・ヤングの不等式$^{\ast}$、マルコフ半群 についての注意)

(4)

Rieszの表現定理

(5)

$^{\ast\ast}$ 共役空間(双対空間)の定義と例 ( $(L^p)^{\ast}=L^q$ただし、 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, $1\le p<\infty$一般には $(L^{\infty})^{\ast}\supsetneq L^1$).

(6)

$^{\ast\ast}$ Radon-Nykodimの定理(Rieszの表現定理の応用)

(7)

Neumann級数と積分方程式(とくにVolterra型について)

(8)

縮小写像の原理とその応用例

6. 非有界作用素

(1)

閉作用素、可閉作用素の定義、例

(2)

随伴作用素、自己共役作用素

(3)

スペクトル集合、レゾルベント集合 (例、Volterra型積分作用素)

(4)

コンパクト作用素の定義、スペクトルに対する注意

(5)

$^{\ast\ast}$ 自己共役作用素のスペクトル分解の注意

測度論の参考書は

1. 「ルベーグ積分」 (竹之内脩著, 培風館)

2. 「ルベーグ積分入門」(伊藤清三著, 裳華房)

3. 「ルベーグ積分から確率論」(志賀徳造著、共立出版)

4. 「確率論」(伊藤雄二著、朝倉書店)

関数解析の参考書としてシラバスにあげた以外に

1. Functinal Analysis, Reed-Simon著, Academic Press

2. 「ヒルベルト空間と量子力学」 新井朝雄著, 共立出版

3. 「フーリエ解析と関数解析学」 新井仁之著、培風館

が参考になる。1,2 ともに量子力学を意識した内容の本である。 1はMethods of Modern Mathematical Physicsの4巻本の最初の 1冊目で2冊目以後も面白い本です。 3はフーリエ解析、ウエイブレットについても触れられている。 やはり、ヒルベルト空間について書かれた本。