坪 井 俊  (TSUBOI Takashi)

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講   座 大域幾何学講座 教授
研究分野 位相幾何学
研究テーマ

葉層構造の葉のふるまいの力学系理論的研究,葉層構造の特性類等の定量的理論の研究,およびこれらの理論の関係.多様体の無限変換群の力学系理論的研究,微分同相群の分類空間と変換群の不変量の研究.

研究概要

 多様体上の葉層構造とその関連分野の研究を行なっている。葉層構造とは多様体の接ベクトル束が完全積分可能であるとき、極大積分多様体の族として与えられるものである。

 葉層の定量的理論として葉層同境の理論がある。2つの葉層は、その非連結和が境界に横断的な葉層の境界への制限となるとき、同境であるといわれる。向きづけられた3次元多様体上の向きづけられた余次元1葉層の同境類のなす群をFΩ(3,1)と書く。これに対しGodbillon-Vey不変量が葉層同境不変量となる。ThurstonによりGV:FΩ(3,1)→Rが全射であることが知られていた。この準同型の単射性が最大の問題であった。Hurder-Katok, Ghysにより提示されていたGV不変量の自然な定義域を定める問題に決着をつけ、このような葉層構造の族の中で、Godbillon-Vey不変量を葉層同境により特徴付けた。「向きづけられた3次元多様体M上の向きづけられた余次元1葉層FのGodbillon-Vey不変量が0であることと(M,F)が零同境の葉層構造の極限と同境になることは同値」。葉層構造はR^nの局所微分同相の芽のなす位相亜群Γ_nについてのΓ_n構造とみられ、Γ_n構造に対し分類空間BΓ_nが構成される。この空間はHaefliger-Thurstonにより葉層の存在、分類の理論において中心的な役割を果たし、BΓ_nのコホモロジーが余次元n葉層構造の特性類といわれるものである。GV類の存在はC^r級(r>2)のBΓ_n^rが2n+1連結ではないことを示している。この空間の連結性を調べることが重要な課題になっており、Mather, Herman, Thurstonにより多くの場合n+1連結が示されていた。これに対し法束が自明な場合のBΓ_n^rがおよそn+n/rの連結性をもつことを示し、さらにr=1のときは法束が自明な場合のBΓ_n1は可縮であることを示した。微分可能性の違いについては力学系理論においてT2上には閉軌道も稠蜜軌道ももたない非特異な流れが、C²級では存在しないが、C¹級では存在することが知られている。BΓ_n1の可縮性の証明はこの現象を用いて行なわれた。これは、手法も斬新であり、多様体のすべての接ベクトル束はC¹級葉層の接束に変形できるという画期的な成果であった。

 また、GVの値と葉層構造の定性的性質の関係を明らかにすることも問題であった。ホロノミー自明またはそれに近い葉層構造に対しGV類が消えることなどを(水谷氏、森田氏との共同研究で)示したが、これはDuminyのGV≠0ならば(葉の)ホロノミーで、その葉自身を巻き込むような葉が存在するという結果の端緒となったものである。さらに高次元多様体上の余次元1葉層構造についてはGV類の有理性、非有理性についての問題を研究し,有理性を示す族を与えるとともに非有理性を示す例を構成した。

 興味深い葉層構造は、力学系と関係して現れる。野田健夫氏と共同で正則な射影的アノソフ流を研究し、円周上の2次元トーラス束、さらに双曲軌道体上のザイフェルトファイバー空間における正則な射影的アノソフ流の分類を行った。これと関連して、松元重則氏と共同で3次元多様体の2つの葉層構造の横断的交わりの一意性の研究を行った。これは典型的葉層の研究としても重要なものである。

 微分同相群の恒等写像の連結成分の群の完全性について研究し、葉層構造の葉を保つ微分同相群、微分可能性の低い接触微分同相の群などについて、完全性を示した。群が完全であるとは、アーベル化が自明すなわち任意の元が交換子の積に書かれることである。また、一様完全とは、この交換子の個数が有界となることである。球面、3次元多様体について、Brago-Iwanov-Polterovichにより、その微分同相群の恒等写像成分の一様完全性が示されていたが、一般に、コンパクト奇数次元多様体、中間指数のハンドルを持たないハンドル分解を持つコンパクト偶数次元多様体に対して、その微分同相群の恒等写像成分の一様完全性を示した。この場合は次元によらない一様性を示すこともわかる。2次元、4次元を除くコンパクト偶数次元多様体に対しても、一様完全性を示したが、この場合の交換子の個数が多様体の情報を持っていることが期待される。球面のような空間に対しては、すべての(向きを保つ)同相写像がただ1つの交換子で書かれることも示した。

 また、1974年にHermanがトーラスに対して実解析的微分同相群の恒等写像の連結成分の群が単純群であることを示していたが、多くの円周作用をもつ実解析的多様体に対して、実解析的微分同相群の恒等写像の連結成分の群の完全性を示した。これは実解析的微分同相群についての希少な研究成果となっている。

主要論文
  1. The Godbillon-Vey classes of codimension one foliations which are almost without holonomy (with T. Mizutani and S. Morita), Annals of Mathematics 113 (1981), 515-527.
  2. On 2-cycles of B Diff (S¹) which are represented by foliated S¹-bundles over T², Annales de l'Institut Fourier, 31 (2) (1981), 1-59.
  3. On the homology of classifying spaces for foliated products, Advanced Studies in Pure Mathematics 5, Foliations, (1985), 7-120.
  4. On the foliated products of class C¹, Annals of Mathematics, 130, (1989), 227-271.
  5. CR-structures on Seifert manifolds (with Y. Kamishima), Inventiones mathematicae 104 (1991), 149-163.
  6. The Godbillon-Vey invariant and the foliated cobordism group, Proceedings of the Japan Academy, 68, Ser A (1992) 85-90.
  7. Area functionals and Godbillon-Vey cocycles, Annale de l'Institut Fourier 42 (1992) 421-447.
  8. Homological and dynamical study on certain groups of Lipschitz homeomorphisms of the circle, J. Math. Soc. Japan. 47 (1995) 1-30.
  9. Small commutators in piecewise linear homeomorphisms of the real line, Topology 34 (1995) 815-857.
  10. Acyclicity of the groups of homeomorphisms of the Menger compact spaces (with V. Sergiescu) American Journal of Mathematics 118 (1996) 1299-1312.
  11. The Calabi invariant and the Euler class, Transactions Amer. Math. Soc. 352 (2000), no. 2, 515--524.
  12. Transverse intersections of foliations in three-manifolds, (with S. Matsumoto) Monographie de L'Enseignement Mathematique 38 (2001), 503-525.
  13. Regular projectively Anosov flows on the Seifert fibered 3-manifolds, J. Math. Soc. Japan. 56 (2004), 1233-1253.
  14. On the group of real analytic diffeomorphisms, Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Superieure, 49, (2009) 601--651.
  15. On the uniform perfectness of the groups of diffeomorphisms of even-dimensional manifolds, Commentarii Mathematici Helvetici, 87, (2012) 141-185.
  16. Homeomorphism groups of commutator width one, Proceedings Amer. Math. Soc. 141, (2013) 1839-1847.
著書

ベクトル解析と幾何学 ISBN4-254-11585-7

講座 数学の考え方5 A5判 240頁 朝倉書店 2002年5月刊

幾何学1 多様体入門 ISBN978-4-13-062954-6

大学数学の入門4 A5判 216頁 東大出版会 2005年04月刊

幾何学Ⅲ 微分形式 ISBN978-4-13-062956-0

大学数学の入門6 A5判 231頁 東大出版会 2008年5月刊

学会 日本数学会
受賞

1991年度日本数学会幾何学賞受賞

「C¹級葉層構造に関する独創的な研究業績」

活動

2000-2004, 2009-  日本数学会理事

2009-2011 日本数学会理事長