時 弘 哲 治 (TOKIHIRO Tetsuji)

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講   座 離散数理学大講座 教授
研究分野 応用数理
研究テーマ
超離散系,非線形可積分系
研究概要

超離散系とは,連続的な方程式から極限操作で得られるセルオートマトン(有限集合に値をとる離散力学系)である.
代表的なものに,箱から箱へ玉を移動させる一種のゲームとして実現される「箱玉系」と呼ばれるものがある.
箱玉系は,(i) ソリトン解をもつ,(ii) 十分にたくさんの保存量をもつ,(iii) 初期値問題が解ける,など,ソリトン方程式に良く似た性質を持っている.また,(iv) ソリトンの散乱が Yang-Baxter 関係式を満たす,(v) 状態空間をある量子代数の $q \to 0$ での表現(crystal),時間発展規則を表現の intertwiner で記述できる,など,組み合せ論的な性質も持つ.

つまり,箱玉系はソリトン方程式に代表される古典非線形可積分系と,可解格子模型に代表される量子非線形可積分系の架け橋となる系(両方の共通の極限系)であり,その数理構造を明らかにすることによって,無限次元可積分系に対する深い理解が得られると考えている.また,箱玉系の状態空間を量子系の線形空間と見たとき,時間発展規則はひとつの(非自明な)量子アルゴリズムと考えられ,応用上も重要である.

最近は,応用上重要であり,解析的にも数値的にも取り扱いやすい周期箱玉系を調べている.組み合せ論的 R 行列による表示,逆散乱法による初期値問題の解決,基本周期公式の導出,基本周期の漸近的挙動および統計的性質の証明,基本周期公式とリーマン予想の等価性の証明などが主な成果である.また,多くのセルオートマトン系は簡単な規則だけで複雑なパターンを生成し,生物などの形態生成のモデルとして使われる.こうしたセルオートマトンを逆超離散化することで,たとえば,フラクタルパターンや生物の貝殻のパターンを生成する偏微分方程式を構成することが可能になってきている.この偏微分方程式と化学・生物現象の基礎方程式である反応拡散系との関係についても研究している.

主要論文
  1. T.Tokihiro, D.Takahashi, J.Matsukidaira and J.Satsuma, "From soliton equations to integrable cellular automata through a limitingprocedure",Phys. Rev. Lett.76, pp. 3247-3250 (1996).
  2. T. Tokihiro, J.Satsuma and R.Willox, "On special function solutions to nonlinear integrable equations" Phys. Lett. A236, pp. 23-29 (1997).
  3. G. Hatayama, K. Hikami, R. Inoue, A. Kuniba, T. Takagi and T. Tokihiro, " The $A_M^{(1)}$ automata related to crystals of symmetric tensors", J. Math. Phys. 42, pp. 274--308 (2001).
  4. F. Yura and T. Tokihiro, "On a periodic soliton cellular automaton" J. Phys. A:Math. Gen. 35, 3787--3801 (2002).
  5. D. Yoshihara, F. Yura and T.Tokihiro, "Fundamental Cycle of a Periodic Box-Ball System'' J. Phys. A:Math. Gen. 36, 99--121 (2003).
  6. W. Kunishima, A. Nishiyama, H. Tanaka and T. Tokihiro,
    "Differential equations can create complex cellular automaton patterns "J. Phys. Soc. Jpn. 73, 2033--2036 (2004).
  7. T. Tokihiro and J. Mada, "Asymptotic behavior of fundamental cycle of periodic box-ball systems: a number theoretical aspect" Glasgow Math. J. 47A, 199--204 (2005).
  8. M. Kanai, K. Nishinari and T. Tokihiro, "Exact solution and asymptotic behaviour of the asymmetric simple exclusion process on a ring", J. Phys. A 39, 9071-9079 (2006).
  9. J. Mada, M. Idzumi and T. Tokihiro, "Fundamental cycle of a periodic box-ball system and solvable latticemodels", J. Phys. A: Math. Gen. 39, 4985-4997 (2006).
  10. S. Iwao and T. Tokihiro, "Ultradiscretization of the theta function solution of pd Toda", J. Phys. A 40, 12987-13021 (2007).
著書 「工学における特殊函数」,時弘哲治,共立出版 (2006)
学会 日本数学会, 日本応用数理学会,日本物理学会