松 本 久 義 (MATUMOTO Hisayoshi)

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講   座 数理解析学大講座 准教授
研究分野 表現論
研究テーマ
Whittaker vector, 退化系列表現、 一般化されたVerma加群
研究概要

私の専門は半単純リー群あるいはリー環の表現論です. 群の表現とはベクトル空間に群が線形変換で作用しているものです. 群というものは対称性を表すものですし, 関数空間やコホモロジーなどベクトル空間は数学の至るところに出て来ます から, 表現というものも数学のあちこちに顔を出す基本的な概念です. 他の分野との関連に加えて, ある群の既約表現全体を考えると言うことはその群のdualを考えるということと考えられます. したがって群の表現論の研究というのはその群の記述する対称性を理解する上で基本的なものです. 半単純リー群とは, SL(n) や直交群などの古典群を含むリー群の重要なクラスで多くのより一般的なリー群の表現論の問題がこのクラスのリー群の問題に帰着されます.

私は表現論に関することならたいていのことには興味はありますが, 具体的に現在主にやっていることは以下のようなことです.

(1) より小さな群の表現から大きな群の表現を構成する表現の誘導という基本的な構成がありますが, 半単純リー群においては特に放物型部分群からの誘導表現が重要な役割をはたします. その中で一次元表現からの誘導表現は退化系列と言われますが構造などまだ特別な場合しか分かっていません. この場合特に興味深いのは対応する複素化された一般旗多様体の幾何と退化系列の構造に関連があることでそこいらをきちんと理解したいところですが、 ゲルファンド次元という表現の大きさを量る不変量が一番大きな場合についてはかなりのことがわかりました。

(2) 保型形式のフーリエ展開は 基本的な概念ですがその表現論的な記述はWhittaker model というものになります. 特に無限素点では,半単純(あるいは簡約)リー群の話になります. どのような既約表現が(一般化された)Whittaker model をもつかというのは基本的な問題ですが, wave front set とか 随伴多様体のような表現の幾何的な不変量との関連が分かってきています.

(3) 一般化された旗多様体という重要な等質空間の族がありますが、これは球面上のcoformal geometryを特別な場合とする自然な幾何的な構造を持ちます。そのような幾何(parabolic geometry)における線形な微分不変式を求める問題はモデル空間である一般化された旗多様体においては一般化されたVerma加群と言われる半単純Lie環の無限次元加群の間の準同型を求めることと同等になります。(退化していない)Verma加群の間の準同型を分類することは、Bernstein-Gelfand-Gelfandによって1970年前後に解決されましたが一般的には未解決です。私は極大放物型部分環の一次元表現からの誘導表現になっている場合に分類を行いました。

主要論文

1 Whittaker vectors and associated varieties. Invent. Math. 89 (1987), no. 1, 219--224.

2 Whittaker vectors and the Goodman-Wallach operators. Acta Math. 161 (1988), no. 3-4, 183--241.

3 $C\sp {-\infty}$-Whittaker vectors corresponding to a principal nilpotent orbit of a real reductive linear Lie group, and wave front sets. Compositio Math. 82 (1992), no. 2, 189--244.

4 On the representations of ${\rm U}(m,n)$ unitarily induced from derived functor modules. Compositio Math. 100 (1996), no. 1, 1--39.

5 The homomorphisms between scalar generalized Verma modules associated to maximal parabolic subalgebras. Duke Math. J. 131 (2006), no. 1, 75--119.

学会 日本数学会・アメリカ数学会
活動

日本数学会函数解析学分科会 分科会委員