代数系紹介


 当研究科においては代数学分野として,数論,代数幾何学,表現論などが研究されている.  
 数論は,1,2,3,といった素朴な「数」の性質を扱う分野であるが,多彩で美しい広がりを見せている.数の体系の拡張に伴う対称性を扱う代数的整数論やガロア理論,楕円曲線のモジュライに端を発する保型形式の理論,素数pに関して数の集合を完備化するp進数の理論などが結合し,数論幾何学として20世紀後半から飛躍的に発展してきた.95年のフェルマー予想の解決はその一端である.当研究科では高木貞治の類体論以来の伝統のもと,ガロア表現,分岐理論,ラングランズ対応,p進ホッジ理論,p進微分方程式などで第一線の研究が行われている.
 代数幾何学は,多項式で定義された図形を調べる分野である.複素解析,微分幾何,トポロジーの手法を取り込み,70年代に小平次元の理論,ホッジ理論,ト一リック多様体の理論,極小モデルの理論などが整備された.近年では数理物理との関連も重要である.当研究科では,それらを用いて,高次元代数多様体,導来圏,K3曲面,カラビ-ヤウ多様体,ファノ多様体,特異点,モチーフ,正標数の代数幾何など多彩な研究活動が行われている.
 表現論は,対称性を線形代数的な手法を使って分析する方法論を扱う分野である.その有効性が認められるようになり,大きな分野に成長している.D加群という微分作用素と関係する非可換環上の加群を用いて表現を研究する手法も進んでいる.また,共形場理論などの数理物理の分野では,無限次元リー環とその表現が重要な役割を果たしている.当研究科では,古典群の表現とヤング図形との関係,およびそれに付随する組み合わせ論的な構造の解明,実およびp進簡約群の表現や,表現に付随する種々の幾何的不変量の研究などが行われている.
 代数学は四則に代表される演算を基礎とする研究分野であるが,幾何,解析,理論物理,計算機科学など他分野との結びつきを一層深めつつ発展をつづけている.

(文責 志甫 淳)