授業の目標・概要：統計モデルとしての多様な確率分布族と，それらに対する種々の統計推測法について解説する．多くの例を通じ，受講者が確率統計の基本事項に習熟することを目標とする．確率モデルと統計手法演習を履修することでそれは容易となるだろう．

授業計画：

1.確率構造の表現：標本空間，事象，独立性，条件つき確率，ベイズの公式
2.確率変数，確率分布
3.離散分布：二項分布，ポアソン分布，負の二項分布，幾何分布
4.連続分布：一様分布，ガンマ分布，指数分布，カイ２乗分布，正規分布，ベータ分布，対数正規分布，パレート分布，混合分布
5.期待値：積率，特性関数，積率母関数，確率母関数，キュムラント，尖度，歪度，具体的な分布族での計算，マルコフの不等式
6.多次元分布：共分散，相関係数，多項分布，２および多変量正規分布，独立性とその性質，条件付分布，条件付期待値，フィルタリング
7.統計モデルと推定：不偏推定，クラーメル・ラオの不等式，有効性，最尤推定，
ベイズ推定，モーメント法，区間推定，具体的な分布族に対する推定の例　
8.漸近理論：法則収束，フィッシャー情報量，最尤推定，ベイズ推定，モーメント法評価

なお，時間があれば以下の事柄に関して話す．
9.複合ポアソン分布：定義と計算，近似法，損保数理
10.回帰モデル：推定，検定，予測
11.経験ベイズ法

授業の方法：講義．

成績評価方法：原則として試験による．

教科書：指定しない

参考書：1. 福島正俊：確率論．裳華房　1998
2. Feller, William An introduction to probability theory and its applications. Vol. I. 3rd ed. John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney 1968 確率論とその応用 / W. フェラー　著 ; 卜部舜一 ほか 訳 紀伊國屋書店
3. Feller, William An introduction to probability theory and its applications. Vol. II. 2nd ed. John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney 1971 確率論とその応用 / W. フェラー 著 ; 卜部舜一 ほか 訳 紀伊國屋書店
4. Shiryaev, A. N.：Probability. Translated from the first (1980) Russian edition by R. P. Boas. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 95. Springer-Verlag, New York, 1996
関連ホームページ： http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~nakahiro/hp-naka

その他：測度論と確率統計関連講義の事前の履修は前提としないが，測度論を用いたより厳密な扱いの確率統計学�T，�Uおよび確率論演習を履修することをすすめる．

授業の目標・概要：演習を通じ，統計モデルとしての多様な確率分布族とそれらに対する種々の統計推測法について，習熟することを目標とする．

授業計画：講義”確率モデルと統計手法”に沿った演習を行うが，適宜講義で話す以外の話題にも触れる．

授業の方法：演習問題の解答と発表を求める．必要に応じて問題の解説を行う．

成績評価方法：原則として発表の回数による．

教科書：指定しない

参考書：

1. 福島正俊：確率論．裳華房　1998
2. Feller, William An introduction to probability theory and its applications. Vol. I. 3rd ed. John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney 1968 確率論とその応用 / W. フェラー　著 ; 卜部舜一 ほか 訳 紀伊國屋書店
3. Feller, William An introduction to probability theory and its applications. Vol. II. 2nd ed. John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney 1971 確率論とその応用 / W. フェラー 著 ; 卜部舜一 ほか 訳 紀伊國屋書店
4. Shiryaev, A. N.：Probability. Translated from the first (1980) Russian edition by R. P. Boas. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 95. Springer-Verlag, New York, 1996

関連ホームページ： http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~nakahiro/hp-naka

授業の目標・概要：確率論の基礎について講義を行う。
講義は測度論（特に可測性について）の復習から始まり、
コルモゴロフの公理系、確率変数、確率分布と特性関数、独立性、
大数の法則、中心極限定理、ポアソンの少数の法則などについて講義していく。
また、マルコフ連鎖の入門についても講義を行う。
授業計画：

１．測度論の復習
２．Dynkin の補題
３．確率測度と確率変数
４．期待値
５．独立性
６．確率変数の独立性
７．確率分布
８．特性関数
９．確率測度の弱収束
１０．Levy の定理
１１．確率変数の収束
１２．中心極限定理
１３．大数の法則
１４．マルコフ連鎖
１５．再帰生と極限定理

授業の方法：講義による

成績評価方法：試験による

教科書：適当な教科書はないのでプリントを配る

参考書：西尾真喜子著「確率論」実教出版

履修上の注意：測度論、位相空間論の初歩を予備知識と仮定して講義を行う。
※0505046確率統計学�Tと合併授業

授業の目標・概要：講義「確率統計�T」「確率論」の内容をよりよく理解するための演習

授業計画：講義の進行に合わせて演習を行っていく。
また、講義ではふれることができなかった確率論のトピックについての演習も行う。

授業の方法：講義も行うが、主に問題を出題し、一部についてはその時間内に解き、解答用紙を提出してもらう。試験ではないので、教員やTAがつき、その場で個人ごとに正解にたどり着くように指導していく。提出した解答は翌週までに添削して、翌週に返却する。

成績評価方法：出席点や提出した解答用紙に対する評価で成績を決める。

授業の目標・概要：数理統計学の入門講義．線形推測の理論と漸近理論の基礎について解説する．

授業計画：

１．確率空間，確率変数，確率分布，期待値，特性関数と積率，多変量分布，多変量正規分布
２．一般化逆行列，射影行列，F分布，ガウス・マルコフモデル，仮説検定，重回帰分析，分散分析
３．大標本理論：最尤推定，大数の法則と一様性，最小コントラスト推定，推定量の漸近正規性

授業の方法：講義をする．

成績評価方法：原則的に試験による．

教科書： 吉田朋広：　数理統計学．朝倉書店　2007（第２刷）

参考書： Rao, C.R.: Linear statistical inference and its applications. 2nd ed. Wiley 1973　奥野忠一 他訳．統計的推測とその応用 （原著第2版）: 東京図書 1977　　　
柳井晴夫, 竹内 啓: 射影行列・一般逆行列・特異値分解. UP応用数学選書 10. 東京大学出版会 1983. 　　
柴田義貞: 正規分布--特性と応用. 東京大学出版会 1981　　
Ferguson, Th.S.: A course in large sample theory. London Weinheim New York Tokyo Melbourne Madras: Chapman & Hall 1996　　
Lehmann, E.L.: Elements of large-sample theory. New York Berlin Heidelberg: Springer 1999　　　
赤平昌文：統計解析入門. 森北出版 2003　　
稲垣宣生: 数理統計学. 改訂版 裳華房 2003．　
高松俊朗: 数理統計学入門. 学術図書出版社 1977　　
竹村彰通：現代数理統計学．創文社現代経済選書8. 創文社 1991　　
Ferguson, Thomas S.: Mathematical statistics: A decision theoretic approach. Probability and Mathematical Statistics, Vol. 1 Academic Press, New York-London 1967　　
竹内啓 他編：統計学辞典．東洋経済新報社 1989.

履修上の注意：測度論は仮定する．確率分布の取り扱いについては確率モデルと統計手法で，確率論の基礎についは確率統計学�Tでより詳しく述べられる．

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~nakahiro/hp-naka

授業の目標・概要：確率過程の中の重要なクラスであるマルチンゲールについて講義する。 主に離散時間の場合を扱い，停止時刻と任意抽出定理，各種のマルチンゲール不等式，収束定理とこれらの応用について述べる。連続時間マルチンゲールにも簡単に触れ，その例としてブラウン運動やポアソン過程を取り上げる。時間が許せば，連続時間マルコフ連鎖についても学ぶ。

授業のキーワード：条件付き確率、条件付き期待値、マルチンゲール、Doob分解、停止時刻、任意抽出定理、Doobの不等式、マルチンゲール収束定理、マルチンゲール変換、横断数評価、Burkholderの不等式、一様可積分性、Doob-Meyer分解、2次変分、ブラウン運動、Wiener測度、ポアソン過程、マルコフ連鎖

授業計画：

1.確率論の基礎概念 (確率統計学I の復習)
2.離散時間マルチンゲール，Doob分解，停止時刻
3.Doobの任意抽出定理
4.Doobの不等式
5.劣マルチンゲールの収束定理
6.マルチンゲールのモーメント不等式
7.一様可積分性と L^1-収束
8.連続時間マルチンゲール
9.停止時刻，任意抽出定理，Doobの不等式
10.Doob-Meyer分解，2次変分
11.ブラウン運動の定義
12.ブラウン運動の構成
13.ブラウン運動の性質
14.ポアソン過程
15.連続時間マルコフ連鎖

授業の方法：講義による。

成績評価方法：レポートにより行う。

参考書：

[1] 舟木直久：確率論, 朝倉書店, 2004年
[2] 舟木直久：確率微分方程式, 岩波書店, 2005年 (1997年)

※0505066確率統計学�Vと合併授業

授業の目標・概要：ブラウン運動とマルチンゲールについて簡単に復習した後、確率積分と確率微分方程式について基礎から講義する。受講者が伊藤の公式を使いこなせるようになることが一つの目標である。 受講者には確率過程論・確率統計学IIIの講義内容である（離散時間）マルチンゲールについて、ある程度慣れていることを期待する。

授業のキーワード：ブラウン運動、マルチンゲール、確率積分、伊藤の公式、確率微分方程式、マルコフ性、生成作用素、マルチンゲール問題、強解と弱解、偏微分方程式、ディリクレ問題、角谷の定理、初期値問題、Feynman-Kacの公式、Cameron-Martinの公式、Girsanovの公式、丸山の公式、ドリフト変換公式、エルゴード定理、不変測度、可逆測度、Ornstein-Uhlenbeck過程、Bessel過程、ブラウン橋、ピン止めブラウン運動、Hilbert空間上のブラウン運動、無限次元確率微分方程式、確率偏微分方程式

授業計画：

1. ブラウン運動の復習
2. マルチンゲールの復習
3. 確率積分
4. 伊藤の公式
5. 確率微分方程式、強解の存在と一意性
6. マルコフ性、生成作用素、マルチンゲール問題と弱解
7. 偏微分方程式との関係、Feynman-Kacの公式
8. Cameron-Martin-Girsanov-丸山の公式
9. エルゴード定理、不変測度、可逆測度
10. 確率微分方程式の例
11. Hilbert空間上のブラウン運動、確率積分
12. 無限次元確率微分方程式と確率偏微分方程式
授業の方法：講義による。

成績評価方法：レポートにより行う。

教科書：なし

参考書：

[1] 舟木直久：確率微分方程式、岩波書店、2005年 (1997年)
[2] I. Karatzas and S.E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus,
Graduate Texts in Math., Volume 113, Springer, 2nd ed., 1991年

※0505067確率統計学XAと合併授業

授業の目標・概要：数理ファイナンスにおけるデリバティブの価格付け問題を理解することを目的とする．
ポートフォリオ，デリバティブ等の用語の説明をはじめ，ファイナンスにおける基本的事項について解説する．デリバティブの価格付けの原理を理解することを主目的とするため，離散時間モデルにおける説明を丁寧に行い，連続時間モデルについてはモデルの考え方の説明と主たる結果の紹介にとどめる．

授業のキーワード：ファイナンス、証券価格、配当、裁定機会、無裁定、デフレーター、状態価格デフレーター、ニューメレール、同値マルチンゲール測度、完備、自己資本的、ポートフォリオ戦略、ヨーロピアンデリバティブ、アメリカンデリバティブ、オプション、先物価格、先渡し価格、二項モデル、ブラック―ショールズモデル、伊藤の公式、測度変換、確率積分

授業計画：

1.無裁定の考え方，
2.離散時間モデル，
3.離散時間の完備モデルにおけるデリバティブの価格付け，
4.離散時間の非完備モデルにおけるデリバティブ価格，
5.連続時間モデル
授業の方法：講義による

授業評価方法：課題レポートによる．

教科書：講義の際にレジュメを配布予定．

参考書：ファイナンスの問題の背景や用語の意味を知るためには，ジョンハル著の日本語訳「フィナンシャルエンジニアリング」（きんざい）など

履修上の注意：確率過程論や確率解析学の内容である，マルチンゲール，確率積分，伊藤の公式などにある程度慣れていることが望ましい．
※0505068確率統計学XBと合併授業

授業の目標・概要：貨幣的効用関数の考え方と性質を理解することを目的とし，
アクチュアリーに関する基本的な事項について講義する．
なお，アクチュアリー資格試験に対応するものではないので注意されたい．

授業のキーワード： 保険、リスク、ポートフォリオ、効用関数、証券価格、配当、CAPM、ベーター値、バリューアットリスク、貨幣的効用関数、リスク尺度、キャッシュフロー、条件付き期待値、分散、キャッシュフロー

授業計画：

１．保険会社や金融機関におけるリスクなど，問題の背景説明
２．１期間のポートフォリオ理論
２．貨幣的効用関数とその性質
３．確定キャッシュフローの現在価値とリスク
４．保険のモデル
授業の方法：講義による．

成績評価方法：課題レポートによる．

教科書：講義の際にレジュメを配布予定．

履修上の注意：確率論の基礎的知識を前提とする．

授業の目標・概要：生命保険・年金・損害保険の実際の保険業務の基礎となる考え方について、この順番で講義を行う。
合わせて、保険に関する現行の法制度・会計制度を中心に、現行の保険の実務について学ぶ。

授業の方法：講義による

成績評価方法：レポート

授業の目標・概要：確率過程の統計学への入門講義である．確率過程の様々な例を通じ，統計推測の漸近理論における基礎的な概念について解説する．

授業計画：確率過程の統計推測の漸近理論になにが必要か，AR(1)過程，マルチンゲール中心極限定理，マルコフ連鎖，点過程，推定量の一致性，漸近正規性，古典的時系列解析入門，線形過程，ARMA過程，自己共分散関数，統計推測の一般形式，可測選択定理，最小コントラスト推定，M推定，一致性，漸近分布，確率微分方程式の推定

授業の方法：講義形式

成績評価方法：原則としてレポートによる

履修上の注意：前半でマルチンゲールを使う．定義と極限定理について説明するが，マルチンゲールに関して詳しくは確率統計学III・確率過程論で学ばれるとよい．
後半で確率微分方程式を扱う．確率積分，伊藤の公式等については適宜説明するが，確率解析の基礎については確率統計学XA・確率解析学の履修をすすめる．

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~nakahiro/hp-naka

授業の目標・概要：複数の特徴量・特性量を持つデータの構造を統計的に解析する方法である多変量解析法について学ぶ．
本講義では，以下に挙げる基本的な方法に的を絞り，計算機を用いた演習を通してその考え方を修得することを目的とする．
多次元の特徴量の線形結合によって新たな特徴量を構成しデータの構造をより鮮明に捉えるための手法として回帰分析および主成分分析を取り上げる．多次元の変量の間に内在する関係を探り出し，それを手掛りにデータを分類する手法として判別分析およびクラスタ分析を学ぶ．また時系列データのモデルとして基本的な自己回帰モデル・移動平均モデルを取り上げ，時系列の平滑化や予測についても学ぶ．

授業のキーワード：多変量解析、回帰分析、主成分分析、判別分析、クラスタ分析、自己回帰モデル、移動平均モデル

授業計画：

1．多変量データの取り扱い
2．確率の基礎
3．線形代数
4．回帰分析
5．主成分分析
6．判別分析
7．階層的クラスタ分析
8．多次元尺度構成法
9．時系列とその性質
10．自己回帰モデル・移動平均モデルの推定と予測

授業の方法：講義，計算機を用いた演習

成績評価方法：レポート(70%)，演習(30%)
教科書：教科書は特に指定しない．必要に応じて資料を配布する．
参考書：参考書としては以下のものを挙げておくので，適宜参照すること．
竹内啓「数理統計学 - データ解析の方法」東洋経済新報社
吉田朋広「数理統計学 (講座 数学の考え方)」 朝倉書店
永田靖・棟近雅彦「多変量解析法入門」サイエンス社
田中勝人「現代時系列分析」岩波書店
履修上の注意：確率論と線形代数の基礎を学んでいることが望ましい．

授業の目標・概要：人口学は人間の誕生から死に至るライフコースの定量的理解のもとに人間集団の形成と再生産のダイナミクスを理解しようとする学際的学問領域であり、すべての人間科学、社会科学の基礎であるとともに、生物学的な個体群動態学と密接に関連している。この講義では、人口学のコアとなっている数理モデル、とくに安定人口モデルとその拡張・応用について講義する。

授業のキーワード：人口、人口学、出生力、死力、生残率、寿命、生命表、安定人口モデル、安定年齢分布、ロトカの特性方程式、内的成長率、マルサスパラメータ、基本再生産数、レスリー行列モデル、両性問題、結婚モデル、人口推計、多状態人口モデル

demography, fertility, mortality, life span, life table, stable population model, stable age distribution, Euler-Lotka's equation, intrinsic growth rate, basic reproduction number, ,,

授業の方法：講義による。

成績評価方法：平常点およびレポートによる。

参考書：

『生命表研究』　（山口喜一ほか編著, 古今書院, 1995年）
『数理人口学』　（稲葉寿著、東京大学出版会, 2002年）
『現代人口学の射程』　(稲葉寿編著, ミネルヴァ書房, 2007年)
関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~inaba/index.html

メールアドレス：inaba@ms.u-tokyo.ac.jp

研究室電話番号：03-5465-8343

授業の目標・概要：この「会計」の講義は、企業会計が社会で果たしている役割を理解し、会計計算の基本的な仕組みと報告書の作成ルールについて講義する。社会的利害対立の中で、慣習で決められている規則と、理論的な根拠のある原則とを分けたうえで、会計の将来の変化に対応する素養を身につけるのが目的である。

授業の方法：講義による

成績評価方法：定期試験による

授業の目標・概要：経済成長に関する基本的事実と、それを説明する理論について述べる。
１．基礎的観察事実
２．新古典派の成長理論
３．技術進歩の諸類型
４．貨幣と経済成長
５．最適成長

授業の方法：講義による

成績評価方法：レポート

稙田　和孝、深谷　竜司、河野　年洋

授業の目標・概要：ファイナンス、アクチュアリー、数理統計学の専門的な課題を選びオムニバス形式で講義を行う

授業のキーワード：ファイナンス、アクチュアリー、生命保険数理、生命保険会計、リスク評価、国際会計基準

授業の方法：講義による

成績評価方法：出席点およびレポートによる

教科書：講義中にプリントを配る

参考書：特にない

伏屋　広隆、青沼　君明、栗木　哲

授業の目標・概要：アクチュアリー・数理統計学の専門的な課題を選び、セミナー形式で学習する．

授業の方法：オムニバス形式で行う

成績評価方法：レポート