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\def\ran{\rangle}
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\centerline{解析学特別演習II・小テスト (1) 解説}
\rightline{2010年10月12日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

最高点は100点(4人)，平均点は44.9点でした．
([1]のせいで点数が負になった人は0点にしています．）
簡単な解説を下につけます．
(実際の答案はもっときちんと書かないと減点になります．)

\bigskip
[1] (各小問とも正解で0点，不正解で$-20$点)
これらの定理はこの授業で頻繁に使います．これらが身についていないと
$\boxed{\hbox{確実についていけなくなります}}$．
怪しい人は$\boxed{\hbox{必ず}}$，
よく復習しておいてください．

チェックでは可測かどうか，すべての点での収束かそれともa.e.か，
などはとりあえず問題としませんでした．重要な点は下記のとおりです．

(1) すべての関数の絶対値が共通の可積分関数で抑えられること

(2) 不等号の向きと，関数が正値であること(あるいは実数値
可積分関数で下から抑えられること)

(3) 単調増大性と，関数が正値であること(あるいは実数値
可積分関数で下から抑えられること)

\medskip
[2] (25点)
これが出来ていない人は，数学科3年生の資格はありません．深く反省し，
復習してください．

\medskip
[3] (25点) 有理数全体は可算なので，$\{p_n\mid n=1,2,3,\dots\}$ とします．
任意の自然数$k$に対し，
$\bigcup_{n=1}^\infty (p_n-2^{-k-n},p_n+2^{-k-n})$ は稠密な開集合で，
その測度は $2^{1-k}$ で抑えらます．$k$ はいくらでも大きくできるので，
下限は $0$ です．

\medskip
[4] (25点)
各自然数 $n\ge1$ に対し，$|f(x)|\ge 1/n$ となる集合の測度が0なので，
$n$ について和を取って，$|f(x)|>0$ となる集合の測度が0となります．

\medskip
[5] (25点)
$\cos x=(e^{ix}+e^{-ix})/2$ とし，それぞれの項について，
原点中心，半径 $N$ で上・下半平面にある半円板の境界上の留数計算を
行って，$N\to\infty$ とします．半円周上の積分は 0 に行き，
$z=\pm i$ での留数から，答えは $\pi/e$ となります．

\bye